《数学分析》课程简介 数学分析的主要内容是微积分学，微积分学的理论基础是极限，极限理论的 理论基础是实数理论。微积分学是微分学(Differential Calculus)和积分学 (Integral Calculus)的统称，英语简称 Calculus，意为计算，这是因为早期微 积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。 后来人们也将微积分学称为分析 学（Analysis)，或称无穷小分析，专指运用无穷小或无穷大等极限过程分析处 理计算问题的学问。早期的微积分，已经被数学家和天文学家用来解决了大量的 实际问题，但是由于无法对无穷小概念作出令人信服的解释，在很长的一段时间 内得不到发展，有很多数学家对这个理论持怀疑态度，柯西（Cauchy）和后来的 魏尔斯特拉斯（weierstrass）完善了作为理论基础的极限理论，摆脱了“要多 小有多小 ”、“无限趋向 ”等对模糊性的极限描述，使用精密的数学语言来描述 极限的定义，使微积分逐渐演变为逻辑严密的数学基础学科，并逐渐建立起了严 密的数学分析理论体系，被称为“Mathematical Analysis”，中文译作“数学 分析 ”。 数学分析亦简称分析。在古希腊数学的早期，数学分析的结果是隐含给出的。 比如，芝诺的两分法悖论就隐含了几何级数的和。再后来， 古希腊数学家如欧多 克索斯和阿基米德使数学变得更加明确，但还不是很正式，他们在使用穷竭 法去计算区域和固体的面积和体积时，使用了极限和收敛的概念。数学分析的创 立始于 17 世纪以牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz，G.W）为代表的开创性 工作为标志，而完成于 19 世纪以柯西（Cauchy）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass） 为代表的奠基性工作。 数学分析的研究对象是函数，它从局部和整体这两个方面研究函数的基本形 态，从而形成微分学和积分学的基本内容。微分学研究变化率等函数的局部特征， 导数和微分是它的主要概念，求导数的过程就是微分法。围绕着导数与微分的性 质、计算和直接应用， 形成微分学的主要内容。积分学则从总体上研究微小变化 （尤其是非均匀变化）积累的总效果，其基本概念是原函数（反导数）和定积分， 求积分的过程就是积分法。积分的性质、计算、推广与直接应用构成积分学的全 部内容。牛顿和莱布尼茨对数学的杰出贡献就在于，他们在 1670 年左右，总结 了求导数与求积分的一系列基本法则，发现了求导数与求积分是两种互逆的运算， 并通过后来以他们的名字命名的著名公式“牛顿-莱布尼茨公式”反映了这种互 逆关系，从而使本来各自独立发展的微分学和积分学结合而成一门新的学科—微 积分学。又由于他们及一些后继学者（特别是欧拉（Euler））的贡献，使得本 来仅为少数数学家所了解，只能相当艰难地处理一些个别具体问题的微分与积分 方法，成为一种常人稍加训练即可掌握的近于机械的方法，打开了把它广泛应用 于科学技术领域的大门，其影响所及，难以估量。因此， 微积分的出现与发展被 认为是人类文明史上划时代的事件之一。与积分相比， 无穷级数也是微小量的叠 加与积累，只不过取离散的形式（积分是连续的形式）。因此，在数学分析中， 无穷级数与微积分从来都是密不可分和相辅相成的。在历史上， 无穷级数的使用 由来已久，但只在成为数学分析的一部分后，才得到真正的发展和广泛应用。 数学分析的基本方法是极限的 方 法 ，或者说是无 穷 小分析 。 洛 比达 （L’Hospital）于 1696 年在巴黎出版的世界上第一本微积分教科书，欧拉于 1748 年出版的两卷微积分与初等分析的书，书名中都出现过无穷小分析这个词。 在微积分学发展的初期，这种新的方法显示出巨大的力量，因而得到大批重要的 成果。许多与微积分有关的新的数学分支， 如变分法、微分方程以至于微分几何 和复变函数论，都在 18—19 世纪初发展起来。然而，初期的分析还是比较粗糙 的，被新方法的力量鼓舞的数学家们经常不顾演绎的逻辑根据，使用着直观的猜 测和自相矛盾的推理，以致在整个 18 世纪，对这种方法的合理性普遍存在着怀 疑。这些怀疑在很大程度上是从当时经常使用的无穷小的含义与用法上引起的。 随意使用与解释无穷小导致了混乱和神秘感。许多人参与了无穷小本质的论争， 其中有些人，如拉格朗日（Lagrange），试图排除无穷小与极限，把微积分代数 化。论争使函数与极限的概念逐渐明朗化。越来越多的的数学家认识到， 必须把 数学分析的概念与其在客观世界的原型以及人的直觉区分开来。 因而，从 19 世纪初开始了一个一个把分析算术化（使分析成为一种像算术 那样的演绎系统）为特征的新的数学分析的批判改造时期。柯西于 1821 年出版 的《分析教程》是分析严密化的一个标志。在这本书中， 柯西建立了接近现代形 式的极限，把无穷小定义为趋于零的变量，从而结束了百年的争论。在极限的基 础上，柯西定义了函数的连续性、导数、 连续函数的积分和级数的收敛性（后来 知道，波尔查诺（Bolzano） 同时也做过类似的工作）。进一步，狄利克雷于 （Dirichlet）1837 年提出了函数的严格定义，魏尔斯特拉斯引进了极限的 ε- δ 定义。基本上实现了分析的算术化，使分析从几何直观的局限中得到了“解放 ”， 从而驱散了 17—18 世纪笼罩在微积分外面的神秘云雾。 继而在此基础上，黎曼（Riemann）于 1854 年和达布（Darboux）于 1875 年对有界函数建立了严密的积分理论，19 世纪后半叶，戴德金（Dedekind）等 人完成了严格的实数理论。至此， 数学分析的理论和方法完全建立在牢固的基础 之上，基本上形成了一个完整的体系，也为 20 世纪现代分析的发展铺平了道路。