《高等数学A》（一）考试大纲 考生应按本大纲的要求，掌握“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、常微分方程的基本概念、基本理论和基本方法。考生应注意各部分知识的结构及知识的联系；具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法进行推理、证明和计算；能运用所学知识分析并解决一些简单的实际问题。具体考试内容与考试要求如下： 一、函数、极限和连续 考试内容 函数的概念及表示法；函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；复合函数、反函数、分段函数和隐函数；基本初等函数的性质及其图形；初等函数；函数关系的建立。 数列极限与函数极限的求法及其性质；函数的左极限与右极限；无穷小量和无穷大量的概念及其关系；无穷小量的性质及无穷小量的比较；极限的四则运算；两个重要极限:函数连续的概念；函数间断点的类型；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质。 考试要求 　　1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系. 　　2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 　　3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 　　4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 　　5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系． 　　6．了解极限的性质及掌握四则运算法则. 　　7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 　　8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 　　9．理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型． 　　10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 二、导数与微分 考试内容 导数和微分的概念；导数的几何意义；函数的可导性与连续性之间的关系；　平面曲线的切线和法线；导数和微分的四则运算；基本初等函数的导数；复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法；高阶导数；一阶微分形式的不变性。 考试要求 1．理解导数的概念及其几何意义，了解左导数与右导数的定义，理解函数的可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。 2．会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3．熟记导数的基本公式，会运用函数的四则运算求导法则，复合函数求导法则和反函数求导法则求导数。会求分段函数的导数。 4．会求隐函数的导数。掌握对数求导法与参数方程求导法。 5．理解高阶导数的概念，知道一些简单的函数的n阶导数。 6．理解函数微分的概念，掌握微分运算法则与一阶微分形式不变性，理解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。 三、微分中值定理与导数的应用 考试内容 微分中值定理；洛必达（L’Hospital）法则；函数单调性的判别；函数的极值；函数图形的凹凸性、拐点及渐近线；函数图形的描绘；函数的最大值和最小值；弧微分。 考试要求 1．理解罗尔(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理及它们的几何意义，了解柯西(Cauchy)中值定理、泰勒(Taylor)中值定理。会用罗尔中值定理证明方程根的存在性。会用拉格朗日中值定理证明一些简单的不等式。 2．掌握洛必达(L’Hospital)法则，会用洛必达法则求未定式的极限。 3．会利用导数判定函数的单调性，会求函数的单调区间，会利用函数的单调性证明一些简单的不等式。 4．理解函数极值的概念，会求函数的极值和最值，会解决一些简单最大值和最小值的应用问题。 5．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 6．会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线。 四、不定积分 考试内容 原函数和不定积分的概念；不定积分的基本性质；基本积分公式；不定积分的概念和基本性质；不定积分的换元积分法与分部积分法；有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的不定积分。 考试要求 1．理解原函数与不定积分的概念及其关系，理解原函数存在定理，掌握不定积分的性质。 2．熟记基本不定积分公式。 3．掌握不定积分的第一类换元法(“凑”微分法)，第二类换元法(限于三角换元与一些简单的根式换元)。 4．掌握不定积分的分部积分法。 5．会求一些简单的有理函数的不定积分。 五、定积分及应用 考试内容 定积分的概念和基本性质；定积分中值定理；积分上限的函数及其导数；牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式；定积分的换元积分法与分部积分法；反常（广义）积分；定积分的应用。 考试要求 1．理解定积分的概念与几何意义, 掌握定积分的基本性质。 2．理解变限积分函数的概念，掌握变限积分函数求导的方法。 3．熟练掌握牛顿—莱布尼茨(Newton—Leibniz)公式。 4．熟练掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 5．理解无穷区间上有界函数的广义积分与有限区间上无界函数的瑕积分的概念，掌握其计算方法。（限于选择与填空） 6．会用定积分计算平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转一周所得的旋转体的体积。 六、微分方程 考试内容 常微分方程的基本概念；变量可分离的微分方程；齐次微分方程；一阶线性微分方程；伯努利（Bernoulli）方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程　；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程。 考试要求 (一)一阶常微分方程 1．理解常微分方程的概念，理解常微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解的概念。 2．掌握可分离变量微分方程与齐次方程的解法。 3．会求解一阶线性微分方程。 (二)二阶常系数线性微分方程 1．理解二阶常系数线性微分方程解的结构。 2．会求解二阶常系数齐次线性微分方程。 3．会求解自由项形如 型的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 试卷结构与题型 一、试卷分数 满分100分。 二、试题类型 单项选择题、填空题和解答题。 单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案。 填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程。 解答题包括计算题、应用题和证明题等，解答题要求写出文字说明，演算步骤或推证过程。 三、题型比例（供参考，最终以考试的实际试卷为准） 单项选择题约40%，填空题约40％，解答题约20％（其中证明题不超过10%）。 4*10个+4*10个+10*2个=100分（22个题） 试题难度 试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值比例约为6∶3∶1。 试卷内容比例 函数与极限约 15 %，导数与微分约 25 %，微分中值定理与导数的应用约 15 %，不定积分约 15%，定积分及应用20 %， 常微分方程约10% 考试方式与时间 考试方式：闭卷笔试（不准使用计算器）。 考试时间：120分钟。