《概率论与数理统计》课程教学大纲

(Probability and Mathematical Statistics)

编写单位：数学与统计学院

编写时间：2024 年 7 月

《概率论与数理统计》课程教学大纲

一、基本信息

课程名称：概率论与数理统计

英文名称：Probability and Mathematical Statistics

课程类别：学科基础教育课程

课程性质：必修课

课程编码：0701000166

学分：3

总学时：48。其中，讲授48学时，实验0学时，上机0学时，实训0学时。

适用专业：全校所有（非数学类）理科、工科、经济、管理等专业。

先修课程与知识储备：高等数学。

后继课程：各专业相关课程。

二、课程简介：

概率论与数理统计是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的一门科学，是从数量上研究随机现象客观规律性的数学学科，是近代数学的重要组成部分。当前，概率论与数理统计已广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术中，也正在广泛地与其他学科互相渗透或结合，成为近代经济理论、管理科学等学科应用与研究中的重要工具。例如，排队论、计量经济学、信息论、控制论、时间序列分析等均以概率论与数理统计相关知识为基础。因此，概率论与数理统计课是继高等数学及线性代数之后的高等学校工科类、经管类本科各专业的一门重要的公共基础必修课。

本课程由概率论与数理统计两部分组成。概率论部分侧重于基础理论，介绍概率论的基本概念，建立一系列定理和公式，寻求解决统计和随机过程问题的方法。主要包括随机事件和概率、随机变量及其分布、随机变量的数字特征等内容；数理统计部分则是以概率论作为理论基础，研究如何进行统计推断。主要包括数理统计的基本概念、参数估计，假设检验等内容。

三、教学目标

全面贯彻党的教育方针，遵循高等教育规律和人才培养规律，秉承“博学、力行、守正、拓新”校训精神，坚持“德育为先、知识为本、能力为重、全面发展”育人理念，夯实理论基础，突出科教融汇，致力于培养具有“底色亮、实践强、善创新、敢担当”的高素质复合型拔尖创新人才。

1、课程思政教学目标：

运用数学思想的科学性、逻辑性和辩证性，以及数学原理引导学生不要满足现状，引导学生远离懒惰、远离颓废，积极学会做人做事。通过时政事件渗透“自强不息、顽强拼搏”的强国之道，对学生进行爱国主义教育。通过古今中外数学家的故事激励学生的民族自豪感，增强民族责任感，激励学生建立大格局的三观，为全人类的发展努力学习，为国家发展需要努力奋斗。

2、课程教学总目标：

通过本课程的学习，应掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力，并且在知识传授的同时起到价值引领的作用，积极培育和践行社会主义核心价值观，培养学生科学、严谨的思维能力。

3、课程目标与学生能力和素质培养的关系：

通过各教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力、数学建模能力、自学能力和查阅文献的能力，特别注意培养学生具有综合运用所学知识、结合各相关专业知识综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力及交流协作的能力。

4、毕业要求—课程目标关系（OBE结果导向）

根据高等教育指导委员会制定的《工科类本科数学基础课程教学基本要求》以及学校制定的培养方案中的毕业要求，考虑本课程与毕业要求的支撑关系，制定本课程学习目标如表1所示：

表1毕业要求-课程目标关系表

毕业要求	与课程关联度	课程目标
具备基本的数学、自然科学知识及应用能力。	高	1、通过对随机事件和随机事件的概率的理解来认识生活中自然界中的随机现象及其统计规律性；综合应用运用概率的基本性质、条件概率、乘法定理、全概率公式、Bayes公式以及事件独立性等解决生活中一些简单随机现象的概率问题。
		2、能够理解随机变量及概率分布，并应用随机变量和概率分布来描述分析随机现象；能区别离散型和连续性随机变量，判断随机变量的独立性；综合应用随机变量的数学期望、方差、协方差、相关系数、矩和协方差矩阵等数字特征来分析随机现象的平均特征、偏离情况、相关问题。
		3、通过应用基本的统计推断方法，应用常见的统计量及其抽样分布，能够设计合理的数据收集方案，并能够对数据进行加工整理和分析，并能做出一些合理的推断。
		4、能够理解参数估计和假设检验的概念，并能够应用应用统计方法进行参数估计和假设检验。
了解科技与社会创新的基本知识、原理方法，有实验设计、数据采集与处理及一定的创新能力。	中	5、能够处理随机现象的基本思想和方法，拥有随机现象分析能力、抽象思维能力、数据分析和计算能力
了解科技与社会创新的基本知识、原理方法，有实验设计、数据采集与处理及一定的创新能力。	中	6、建立必要的概率论与数理统计基本知识素养，能够灵活应用概率统计知识，通过建立概率或统计模型来描述和分析较复杂的随机问题。

四、课程内容及学时分配

本课程内容、建议学时以及知识单元与课程目标支撑关系如表2所示。

表2课程内容及学时分配

知识单元		知识点		讲授学时	实验学时	上机学时	课程目标
序号	描述	序号	描述		0	0
1	概率论的基本概念	1	随机试验与随机事件	2	0	0	1，5，6
		2	频率与概率	2	0	0
		3	全概率公式与贝叶斯公式	2	0	0
		4	事件的独立性，伯努利试验	2	0	0
2	随机变量及其分布	1	随机变量及其分布函数	2	0	0	2，5，6
		2	离散型随机变量及分布	2	0	0
		3	连续型随机变量及分布	2	0	0
		4	随机变量函数的分布	2	0	0
3	随机向量及其分布	1	二维随机变量及其分布	2	0	0	2，5，6
		2	边缘分布	2	0	0
		3	条件分布，独立性	2	0	0
		4	两个随机变量的函数分布	2	0	0
4	随机变量的数字特征	1	数学期望	2	0	0	2，5，6
		2	方差	2	0	0
		3	协方差与相关系数	2	0	0
		4	矩、协方差矩阵，习题课	2	0	0
5	大数定律与中心极限定理	1	大数定律	1	0	0	2，5，6
5	大数定律与中心极限定理	2	中心极限定理	2	0	0	2，5，6
6	数理统计的基本概念	1	随机样本	1	0	0	3，5，6
6	数理统计的基本概念	3	抽样分布	2	0	0	3，5，6
7	参数估计	1	点估计	2	0	0	4，5，6
		2	估计量的评价标准	2	0	0
		3	区间估计	2	0	0
8	假设检验	1	概述	1	0	0	4，5，6
		2	单个正态总体的假设检验	2	0	0
		3	两个正态总体的假设检验	1	0	0

五、教学方法及要求

教学方法：教学中以课堂讲授为主，以讨论为辅。采用启发式教学法，适当运用讨论式教学法。融入联系应用的案例式教学法，并倡导利用结合软件技术解决实际问题的实验式教学法。可以与MOOC、微课有机结合，让学生在课前能很好的预习，课后对还没掌握的概念与定理的证明等能自主进行网上学习。

教学手段：恰当使用多媒体教学手段，充分运用教师对学生讲授与学生间自由讨论相结合、传统解题训练与开放型问题探索相结合、以及实体课堂面对面交流与虚拟课堂数字信息交流相结合的交互式教学手段，合理利用网络资源实施开放性教学手段，适当采用规范统考与多样化考查相结合的考核手段。

思政教学方法：首先实施知识发现过程教学，在概念形成过程、问题解决过程、结论推导过程以及规律被揭示过程中适时进行课程思政，让学生参与到知识的“再发现”、 “再创造”过程，以培养学生求真、求是、求善、求美的态度和精神。其次以问题为先导，通过问题解决进行课程思政，通过提出问题—分析问题—解决问题来引导和推动学生自主、合作、探究等方式学习，实现知识传授和价值引领的有机结合。再有专题教学过程中进行课程思政。

六、重点与难点

重点内容：1、随机事件和概率的性质；2、全概率公式与Bayes公式；3、一维随机变量及其分布（离散型和连续型）；4、随机变量的常见分布；5、二维随机变量及其分布；6、联合分布与边缘分布以及随机变量的独立性；7、随机变量的数字特征（期望、方差、协方差、相关系数）；8、数理统计的基本概念（随机抽样、统计量及抽样分布）。9、矩法估计，极大似然估计，区间估计；10、原假设和备择假设的概念，假设检验可能产生的两种错误，正态总体下的参数的假设检验。

难点内容：1、条件概率及Bayes公式；2、条件密度函数；3、两个随机变量的函数的分布；4、大数定律与中心极限定理；5、三大统计分布与常见抽样分布；6、极大似然估计；7、区间估计；8、参数的假设检验。

七、学习要求

课内要求：本课程要求学生自主学习、阅读本课程教学大纲指定使用的教材的内容，做好课前先预习再听课，课后先复习后作业。独立完成教师所布置的课堂习题、课堂讨论、课后思考等。

课外要求：自主阅读同类参考书一本以上，必须认真完成任课老师布置的课后作业并按时上交，在此基础上自主完成教材中每章节的课后习题，自主学习教师布置的研讨内容，积极参与小组讨论、小组汇报的活动。

课后作业的选取应体现相应的教学内容的基本概念、基本结论、基本计算方法及应用。各知识单元习题数量的要求大致如下：第1单元20题，第2单元20题，第3单元20题，第4单元20题，第5单元10题，第6单元10题，第7单元20题，第八章10题。

研讨内容选取主要是教学内容中的重点难点、比较典型的案例。

八、考核内容及考核方式

1.考核内容及评价依据

本课程考核内容、建议评价依据以及与课程目标对应关系如表3所示。

表3 课程目标-考核方式关系表

课程目标	考核内容	评价依据
1-4	系统掌握随机事件、条件概率等的基本概念及概率公理化定义，掌握随机事件的关系和运算、古典概型和几何概型问题的求解、概率的基本性质、事件相互独立性及全概率公式和贝叶斯公式进行概率计算的方法；掌握随机变量的分布函数、分布律或密度函数，常用的离散型随机变量的概率分布律，常用的连续型随机变量的概率分布及相关概率问题的求解；掌握一维随机变量函数的分布的求解问题；掌握二维随机变量的联合分布和边缘分布，随机变量的独立性的判断，两个随机变量的和、差等函数的分布等的相关问题的计算；最大最小值分布的计算；掌握常用随机变量的数学期望与方差、随机变量函数的数学期望的计算，协方差、相关系数的计算；了解切比雪夫不等式的应用、大数定律、中心极限定理；掌握常用统计量的分布、期望和方差，三大统计分布的构造与性质、分位数，抽样分布定理；掌握矩估计法和最大似然估计的原理与求解，评价点估计的无偏性、有效性和相合性的方法，正态总体参数的置信区间的求法及结论；掌握原假设和备择假设的概念，假设检验可能产生的两种错误，正态总体下的参数的假设检验。	平时课堂表现情况、课堂讨论、课堂提问、随堂测试、作业完成情况; 期末考试。
5	掌握古典概型和几何概型的计算、条件概率和乘法公式以及全概率公式和贝叶斯公式的应用；理解总体、个体、简单随机样本等基本概念；理解置信区间的概念及其意义；掌握假设检验的思想。	1.平时课堂表现情况、课堂讨论、课堂提问、随堂测试、作业完成情况; 2.期末考试。
6	掌握概率模型的建立、全概率公式和贝叶斯公式在实际问题中的应用；掌握正态总体下的参数的区间估计的应用；掌握正态总体下的参数的假设检验。	1.平时课堂表现情况、课堂讨论、课堂提问、随堂测试、作业完成情况; 2.期末考试。

课程目标

考核内容

评价依据

1-4

系统掌握随机事件、条件概率等的基本概念及概率公理化定义，掌握随机事件的关系和运算、古典概型和几何概型问题的求解、概率的基本性质、事件相互独立性及全概率公式和贝叶斯公式进行概率计算的方法；

掌握随机变量的分布函数、分布律或密度函数，常用的离散型随机变量的概率分布律，常用的连续型随机变量的概率分布及相关概率问题的求解；掌握一维随机变量函数的分布的求解问题；

掌握二维随机变量的联合分布和边缘分布，随机变量的独立性的判断，两个随机变量的和、差等函数的分布等的相关问题的计算；最大最小值分布的计算；

掌握常用随机变量的数学期望与方差、随机变量函数的数学期望的计算，协方差、相关系数的计算；

了解切比雪夫不等式的应用、大数定律、中心极限定理；掌握常用统计量的分布、期望和方差，三大统计分布的构造与性质、分位数，抽样分布定理；

掌握矩估计法和最大似然估计的原理与求解，评价点估计的无偏性、有效性和相合性的方法，正态总体参数的置信区间的求法及结论；

掌握原假设和备择假设的概念，假设检验可能产生的两种错误，正态总体下的参数的假设检验。

平时课堂表现情况、课堂讨论、课堂提问、随堂测试、作业完成情况;
期末考试。

掌握古典概型和几何概型的计算、条件概率和乘法公式以及全概率公式和贝叶斯公式的应用；

理解总体、个体、简单随机样本等基本概念；理解置信区间的概念及其意义；

掌握假设检验的思想。

1.平时课堂表现情况、课堂讨论、课堂提问、随堂测试、作业完成情况;

2.期末考试。

掌握概率模型的建立、全概率公式和贝叶斯公式在实际问题中的应用；

掌握正态总体下的参数的区间估计的应用；掌握正态总体下的参数的假设检验。

1.平时课堂表现情况、课堂讨论、课堂提问、随堂测试、作业完成情况;

2.期末考试。

2、成绩评定

（1）成绩评定标准：（1）成绩评定标准：总成绩期末考试成绩×0.8+学习能力成绩×0.2。

（2）课程目标与评分标准之间的对应关系

表4 课程目标-成绩评定标准关系表

课程目标	成绩评定标准
1-4	期末书面闭卷考试评定（80%）
5-6	书面作业、讨论作业与课堂表现情况评定（20%）

九、课程资源平台

长沙理工大学慕课教学平台：https://mooc1.chaoxing.com/course/215804273.html

长沙理工大学课程教学平台：http://pt.csust.edu.cn/

十、教材、主要参考书

1.教材：

[1]概率论与数理统计[M],韩旭里,谢永钦,北京大学出版社,2019.

2.主要参考书：

[1]概率论与数理统计（第四版）[M],盛聚等,高等教育出版社,2008.

[2]概率统计[M],耿素云，张立昂,北京大学出版社,1998.