《高等数学A（二）》课程教学大纲

(Advanced Mathematics A(II))

编写时间：2023 年 10 月

《高等数学A（二）》课程教学大纲

一、基本信息

课程名称：高等数学A（二）英文名称：Advanced Mathematics A(II)

课程类别：学科基础教育课程

课程性质：必修课

课程编码：0701000219

学分：5

总学时：80。其中，讲授80学时，实验0学时，上机0学时，实训0学时。

适用专业：水利类、机械类、计算机类、能动、电气、物理、电子信息类、新能源、大数据、力学、测控、新能源、人工智能等全校各理工科专业。

先修课程与知识储备：高等数学A（一）。

后继课程：《线性代数》、《概率论与数理统计》、《复变函数与积分变换》等。

二、课程简介

随着科学技术的迅猛发展，数学正日益成为各学科进行科学研究的重要手段和工具。高等数学是近代数学的基础，是理工科各专业和经济管理类专业的学生的必修课,也是在现代科学技术、经济管理、人文科学中应用最广泛的一门课程，因此学好这门课程对学生今后的发展至关重要。本课程以《高等数学（上册）》一元函数微积分学为基础，在此基础上建立了多元函数的连续、偏导数、全微分、重积分、曲线与曲面积分的概念、理论和应用，以及空间解析几何和向量代数，无穷级数等理论。通过本课程的教学，使学生掌握利用多元函数微积分思想处理相关问题的思想和方法，培养学生科学思维能力，同时为后续课程的学习奠定良好的数学基础。

三、教学目标

全面贯彻党的教育方针，遵循高等教育规律和人才培养规律，秉承“博学、力行、守正、拓新”校训精神，坚持“德育为先、知识为本、能力为重、全面发展”育人理念，夯实理论基础，突出科教融汇，致力于培养具有“底色亮、实践强、善创新、敢担当”的高素质复合型拔尖创新人才。

1、课程思政教学目标：

坚持以人为本，立德树人，做到“眼里有学生、心中想学生、行动关心学生、教学引导学生”。在传授高等数学课程知识的基础上，通过根植渗透融入数学文化和德育教育等思政元素，对学生进行爱国主义与国家意识、辩证唯物主义与政治认同、科学精神与文化自信、美学与公民人格等方面的教育；将知识传授与价值引领相结合，弘扬劳模精神和工匠精神，营造劳动光荣的社会风尚和精益求精的敬业风气，激发学生坚定四个自信和增强民族自豪感，树立时代使命感和责任感；引导学生树立正确的世界观、人生观和价值观，引导学生将所学到的知识转化为内在德性和素养，将个人发展与社会发展、国家发展结合起来；帮助学生解答思想困惑、价值困惑、情感困惑，激发其为国家学习、为民族学习的热情和动力，帮助其在创造社会价值过程中明确自身价值和社会定位。

2、课程教学总目标：

通过高等数学课程的学习,使学生系统地掌握多元函数微积分的基本理论与基本方法，为学生学习后续课程打下必要的数学知识基础；培养学生的逻辑推理能力，空间想象能力，数值计算与符号运算能力，抽象概括能力，运用数学知识解决实际问题的能力；培养学生养成科学地分析问题和解决问题的思维方式，增强学生的辩证思维、美学意识和创新意识，提高学生的创造力；培养学生爱国主义情怀和时代责任感，提高学生勇于进取和自强不息的探索精神。

3、课程目标与学生能力和素质培养的关系：

通过高等数学课程的学习，使学生系统掌握微积分的基本概念、理论和方法，提高学生运用数学知识分析和解决问题的能力，具备初步数学建模能力；使学生具有一定的空间想象能力，逻辑推理能力，抽象概括能力，数值计算与符号运算能力，让学生明白学习是一个逐渐积累的过程，要不断学习，终身学习，要发扬劳模精神与工匠精神，才能实现人生自我价值；使学生了解微积分相关知识所蕴涵的辩证思维、数学美学、传统文化等内容，让学生陶冶情操，树立正确的人生观、世界观和价值观，培养学生不畏艰难、踏实勤奋、诚信正直的精神品质；使学生了解中国数学故事，中国数学名人，中国科技强国梦，激发学生坚定四个自信，增强民族自豪感，树立时代使命感与责任感。

4、毕业要求—课程目标关系（OBE结果导向）

表1 毕业要求-课程目标关系表

毕业要求	与课程关联度	课程目标
适用专业学生具有所需的高等数学知识，能够应用数学的基本原理，识别、表达相关数学问题，并获得有效结论，具有应用所学数学知识和技能解决复杂专业问题的实践能力。	高	通过学习多元函数微积分理论，进一步了解高等数学与几何学、物理学的密切关系，初步具备多元函数微积分思维。通过学习多元微积分的基本概念、基本理论和基本方法，初步掌握多元微积分的基本思想。应用向量代数理论和空间几何的基本原理来分析、解决几何问题，并建立空间思维能力。能够理解多元微分学中的向量值函数及导数、梯度、极值最值等理论，并应用到物理、几何、最优化问题。能够明晰多元积分学的重积分、曲线曲面积分，将其用于理解物理学电磁场理论. 能够综合应用无穷级数的基本原理理解工程、物理学中一些问题
自主学习和终身学习的意识，具有探索创新、不断学习和适应发展的能力。	中	7. 通过本课程的学习，逐步培养学生以下能力：基本计算能力和抽象符号运算能力；综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力；抽象概括问题的能力；逻辑推理能力；自主学习的能力。
具有独立工作和团队合作的能力；具有在多学科项目中与他人合作的能力。	中	8. 在本课程的学习中，通过独立查阅资料和复习完成书面作业或与同学一起讨论完成小组作业，可以提高学生与他人合作的能力。
具有活跃的思维能力，准确而流畅的书面表达能力，清晰而有说服力的口头表达能力。	中	9. 在本课程的学习中，可以使学生的思维更加活跃，通过回答数学问题和完成作业，可以使提高学生的书面表达能力，使学生的表达更有逻辑性与条理性。

四、课程内容及学时分配

本课程内容、建议学时以及知识单元与课程目标支撑关系如表2所示。

表2 课程内容及学时分配

知识单元		知识点		讲授学时	实验学时	上机学时	课程目标
序号	描述	序号	描述	80	0	0
1	向量代数与空间解析几何	1	向量及其线性运算	2	0	0	1,2,3,7,8,9
		2	数量积、向量积	2	0	0
		3	平面及其方程	2	0	0
		4	空间直线及其方程	2	0	0
		5	曲面及其方程	1	0	0
		6	空间曲线及其方程	1	0	0
		7	作业讲解和章节测试	2	0	0
2	多元函数微分法及其应用	1	多元函数的基本概念	2	0	0	1,2,4,7,8,9
		2	偏导数	2	0	0
		3	全微分	2	0	0
		4	多元复合函数的求导法则	2	0	0
		5	隐函数的求导公式	2	0	0
		6	多元函数微分学的几何应用	2	0	0
		7	方向导数与梯度	2	0	0
		8	多元函数的极值及其求法	2	0	0
		9	作业讲解和章节测试	2	0	0
3	重积分	1	二重积分的概念与性质	2	0	0	1,2,5,7,8,9
		2	二重积分的计算法	6	0	0
		3	三重积分（一）	2	0	0
		4	三重积分（二）	2	0	0
		5	重积分的应用	2	0	0
		6	作业讲解和章节测试	2	0	0
4	曲线积分与曲面积分	1	对弧长的曲线积分	2	0	0	1,2,5,7,8,9
		2	对坐标的曲线积分	2	0	0
		3	格林公式及其应用	4	0	0
		4	对面积的曲面积分	2	0	0
		5	对坐标的曲面积分	2	0	0
		6	高斯公式	1	0	0
		7	斯托克斯公式	1	0	0
		8	作业讲解和章节测试	2	0	0
5	无穷级数	1	常数项级数的概念与性质	2	0	0	1,2,6,7,8,9
		2	常数项级数的审敛法	4	0	0
		3	幂级数	4	0	0
		4	函数展开成幂级数	2	0	0
		5	傅里叶级数	1	0	0
		6	一般周期函数的傅里叶级数	1	0	0
		7	习题课与课程总复习	4	0	0

五、教学方法及要求

1．教学方法及要求

以教师讲授为主，采取学生自学与教师讲授相结合的方法，讲解时尽量做到直观易懂与严紧性相结合。概念的引入和例题的选择尽可能联系实际应用，使学生充分了解学习高等数学课程的重要性，激发学生学习高等数学课程的兴趣，从而充分发挥学生学习的主动性。在课堂讲授的同时，适当结合小组讨论法进行教学。另外，可以与MOOC、微课有机结合，让学生在课前能很好的预习，课后对还没掌握的概念与定理的证明等能自主进行网上学习。

课程思政教学方法及要求

突出思政引领，将“思政之盐融入教育之汤”。坚持显性教育与隐性教育相统一，充分发掘高等数学课程及教学方式中蕴含的思政元素，适时将思政元素有机融入课程教学；也可以通过构造思政教学案例等形式，实现知识传授与价值引领相统一，落实立德树人的根本任务。

六、重点与难点

1．空间解析几何与向量代数

重点：向量的坐标，方向余弦的概念，向量的数量积和向量积的概念及其坐标表示法，空间直线，平面方程求法。

难点：向量的运算，向量的投影，直线方程，平面束。

2．多元函数微分法及其应用

重点：偏导数及全微分的概念，偏导数的计算法，多元复合函数求导法则，隐函数的求导法则，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，多元函数的极值，多元函数的条件极值及应用。

难点：复合函数的链式求导法则，多元函数条件极值。

3．重积分

重点：二重积分的概念及计算法，三重积分的概念及计算法。

难点：二重积分的换元法，三重积分的计算，重积分的物理应用。

4．曲线积分

重点：两类曲线积分的概念及其计算方法，格林公式及其应用，曲线积分与路径无关的条件。

难点：两类曲线积分间的关系，曲线积分与路径无关的等价条件。

5．无穷级数

重点：无穷级数收敛和发散的概念，正项级数的审敛法，幂级数的收敛域与和函数，函数的幂级数展开式。

难点：函数的幂级数展开式，幂级数的求和。

七、学习要求

教师每次新课前，要求学生预习，在讲课时通过对概念、公式的推导等随机提问检查学生的预习情况；课堂上可以让学生上台讲类似的例题，了解学生对知识点的掌握情况；给学生留课后思考题或书面作业，要求学生课余分组讨论或认真复习独立完成，并及时检查学生的完成情况，以便快速查漏补缺。

八、考核内容及考核方式

1.考核内容及评价依据

本课程考核内容、建议评价依据以及与课程目标对应关系如表3所示。

表3 课程目标-考核方式关系表

课程目标	考核内容	评价依据
1,2,3	理解空间直角坐标系和向量的概念及其表示. 掌握单位向量，方向余弦，熟练掌握向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法，了解两向量平行、垂直的条件；掌握平面、直线方程求法，会利用平面与直线的相互关系解决有关问题。掌握数形结合的思想，提高形象思维与抽象思维相结合，直觉与逻辑相结合的能力；理解曲面方程的概念，了解以坐标轴为旋转轴的旋转，曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程，了解常用二次曲面的方程及其图形。了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解曲面的交线在坐标面上的投影。	课堂讨论、课堂提问、作业情况、随堂测试、期中考试、期末考试。
1,2,4	理解多元函数的概念；了解二元函数的极限与连续性的概念，及有界闭域上连续函数的性质；. 理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握复合函数的一阶与高阶偏导数的求法，隐函数的偏导数的求法。了解全微分存在的必要条件和充分条件；熟练掌握求曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的方法，了解方向导数与梯度的概念，会求方向导数与梯度；了解多元函数极值、最值和条件极值的概念，熟悉求条件极值的拉格朗日乘数法. 熟练掌握求多元函数的极值的方法，会求解一些较简单的最大值和最小值应用问题。	课堂讨论、课堂提问、作业情况、随堂测试、期中考试、期末考试。
1,2,5	理解二重积分的概念，熟悉二重积分的性质，熟练掌握直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算，了解二重积分的换元法；掌握三重积分的概念，熟练掌握直角坐标系、柱坐标系和球坐标系下三重积分的计算；了解利用对称性化简重积分的方法；熟悉利用重积分求曲面的面积、几何体的体积、物体的质心、转动惯量和引力等的方法。	课堂讨论、课堂提问、作业情况、随堂测试、期中考试、期末考试。
1,2,5	理解对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分的概念和性质及物理意义，熟悉两类曲线积分之间的关系与差异，熟练掌握两类曲线积分的计算方法;理解格林公式及其条件，熟悉将平面曲线积分转化为二重积分来计算，熟练掌握平面曲线积分与路径无关的条件，掌握二元函数全微分求积;了解对面积的曲面积分的概念与性质，了解对面积的曲面积分的计算方法；了解对坐标的曲面积分的概念与性质；了解对坐标的曲面积分的计算方法；了解两类曲面积分之间的联系；掌握高斯公式与斯托克斯公式。	课堂讨论、课堂提问、作业情况、随堂测试、期末考试。
1,2,6	理解无穷级数的概念及其性质，熟悉由部分和数列的极限来求级数和的方法;熟练掌握正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法，交错级数的莱布尼茨判别法，了解正项级数积分判别法. 掌握任意项级数的绝对收敛与条件收敛的判别与性质;熟练掌握一些幂级数收敛域与和函数的求法，能熟练地将一些函数在指定点展开成幂级数；了解傅里叶级数的概念，掌握一些函数在上的傅里叶展开，了解一般周期函数的傅里叶展开。	课堂讨论、课堂提问、作业情况、随堂测试、期末考试。
1,2,3,4,5,6,7,8,9	课堂、课外表现。	课后阅读、课后讨论、参加数学学科竞赛情况等。

2、成绩评定

（1）成绩评定标准：总成绩期中考试成绩期末考试成绩学习能力成绩

（2）课程目标与评分标准之间的对应关系

表4 课程目标-成绩评定标准关系表

课程目标	成绩评定标准
1-6	期中书面闭卷考试评定（30%）
1-6	期末书面闭卷考试评定（50%）
1-9	书面作业、讨论作业与课堂表现情况评定（20%）

九、课程资源平台

1、国防科技大学《高等数学（三、四）》中国大学MOOC：

https://www.icourse163.org/course/0701NUDT001A-9004。

2、长沙理工大学《高等数学（下）》，长沙理工大学慕课平台：

http://www.xueyinonline.com/detail/217574923。

十、教材、主要参考书

1、教材：

《高等数学（第七版下册）》,同济大学数学系,高等教育出版社,2014.

2、主要参考书：

[1] 《托马斯微积分（第11版下册）》,FINNEY WEIR GIORDANO,高等教育出版社,2016.

[2] 《高等数学军事应用案例》,但琦,国防工业出版社,2017.

[3] 《古今数学思想》,Morris Klein著,张理京译,上海科学技术出版社,2013.

大纲执笔人：谭艳祥课程负责人：谭艳祥大纲审核人：李姣仝青山