直接试验就是用原型进行试验。其优点是直观。但是，①试验结果只能应用于完全相同的现象，推广受到局限；②对于有些现象无法进行直接试验,如还没有建造出的设备设施、对于已建造出的设备但受到条件的限制（尺寸太大或太小，温度、压力的限制）、对造价高的设备作破坏性试验、一些不常发生的自然现象（如地震）等，都是难于应用直接试验法的。

2）模型试验

模型试验是通过模型来研究原型。模型应该根据需要，在形态、工作规律、信息传递规律和原型相似。

模型分类：

a．参观用模型——供参观、教学用。一般仅保持外形、活动状态的相似。

b．定性分析用的简易模型——它体现设想，帮助构思，供分析讨论用。一般仅保持外形、活动状态相似。

c．定量研究用的模型——分物理模型和数学模型。

物理模型是供研究某种现象用的模型。它保持工作规律相似，物理本质不变，与原型比较仅是物理量大小比例不同。

数学模型是供研究某系统在改变输入信息后，工作过程的变化的模型。它保持信息传递规律相似。它和原型所进行的物理过程本质不同，但信息传递按同一规律进行。如计算机模拟。

本课程讨论的模型试验是指“定量研究用的物理模型。”要求模型保证工作规律相似，所反映的现象物理本质不变。而不仅仅是外形尺寸，活动状态相似。因此，模型试验所说的“模型”是指的模型现象，而不仅是一个物体的模型。

模型试验的优点：（1）试验结果可以推广到一切相似的现象；（2）经济性好，节约人力、物力、时间。如阿波罗指令仓有关外壳刚度与减速度试验，实物试验费需50万美元，模型试验费只需9千美元，下降约15倍。土星V运截火箭实物试验费1000万美元，模型试验费50万美元，下降约20倍；（3）可以对直接试验无法进行的现象进行试验；（4）可以严格控制试验条件，突出主要因素；（5）可以反复再现试验。由于这些优点，模型试验广泛应用于各个科学领域。在汽车的研究中，模型试验应用于研究汽车的空气阻力，汽车的碰撞、轮胎在各种土壤条件下的牵引性能等方面。

本章的内容主要是讨论怎样设计模型和怎样整理和推广试验结果。

§2 物理现象的数学描述单值条件

现象，常用各种物理量来表征。

任何现象都有其客规律。当人们认识到这个规律时，都可以把表征这个现象的各种物理量及其它参量组成一组数学方程式，一般是一组微分方程式。具体运用这个规律时，需要把方程解出来。由微分方程可得到通解。这个方程组或其通解反映了各物理量间的关系，是用数学形式对这种类型的现象的一种描述。它适合于一切这种类型的现象。

例如：对于图示振动系统，可根据牛顿第二定律，列出描述系统运动现象的微分方程：

解这个方程，得描述物体位移规律的通解：

x1——方程对应的齐式方程的通解；

x2——方程的一个特解

这个微分方程和这个能解适合于一切如图示系统的运动现象。这种现象有无数多个。每个具体的现象有它独有的特性，或是无阻尼的、欠阻力的、过阻尼的，或是自由振动、衰减振动、受迫振动等等。上面这个方程包括了这些现象，但要区分或要描述某一个具体现象，还要给出附加条件。这个附加条件和方程组一起，才能描述个别的、具体的某一特定现象。

能从服从于同一方程组的无数现象，单一地划分出某一具体现象的附加条件，叫单值条件。

单值条件是同类现象中各个现象相互区别的标志。单值条件一给定，具体现象即确定。

如给出上述振动现象的单值条件：

，，，

时：，，

就描述了一个具体的振动现象（一个零初始状态的受迫振动现象）。

单值条件包括：

⑴空间(几何)条件:参与现象的物体的几何形状尺寸大小。如悬臂梁的长度和受力位置。

⑵物理条件:参与现象的物理介质的物理性质。如振动体的质量m；流体的密度

⑶边界条件条件：发生在现象边界的对象有影响的约束情况。如悬臂梁的一端转角θ为零。

⑷初始条件：现象的初状态。这个初始状态直接影响现象的演变过程。如自由振动和衰减振动现象的初始状态决定了振幅A和初相位角α。

把同类现象作为一个集合，其中每一个具体现象就是这集合的元素，而相似现象是这个集合的一个子集。如上述振动系统，每一种不同的单值条件的取值都是同类现象的一个具体现象；而根据相似的概念，相似现象的每一单值条件物理量都应是成比例的，而不是任意取的。（下一节将讲述这些比例是有一定约束关系的）。因此，在模型试验中，控制试验条件就是控制单值条件，以使模型与原型相似，试验结果才有意义。在实际中，由于现象的规律往往是不知道的，单值条件也不知道。准确地判定单值条件，是很重要的，也是很困难的。

综上所述，有以下几点：

① 单值条件是指表征现象的一些(不是全部)物理量。

② 在同一类现象中，单值条件一给定，具体现象即确定，非单值条件物理量也由现象的规律而被确定。由于单值条件物理量和非单值条件物理量之间有这种从属关系，我们称单值条件物理量叫“定性量”；称非单值条件物理量叫“非定性量”。

③ 哪些物理量是单值条件还与研究的问题有关.如研究应力与挠度的关系时,应力和挠度都可以分别作为单值条件。

§3 相似的概念

一、几何相似

相似的概念首先出现在几何学里。

两个相似三角形的对应尺寸不同，但形状一样。

相似三角形的性质（相似性质）：各对应线段的比例相等，各对应角相等，即：

, ,

反过来讲，满足“相似条件”的两个三角形是相似三角形。此条件为：

“相似性质”是指彼此已相似的现象具有的性质；“相似条件”是指满足此条件，现象就彼此相似。

几何学中的相似概念可推广到其它物理概念中。

几何相似（空间相似）：指对应尺寸不同，但形状一样的几何体。它表现为所有对应线段都成一定比例，所有对应角都相等。

二、运动相似

物体的运动现象可以用路程S、时间T、速度V

等物理量来描述。运动相似就是指这些表征运动现象

的物理量分别相似。

(a) 时间相似：指对应的时间间隔的比值相等：

Ct是时间的相似倍数。

（b）速度相似：指速度场的几何相似。表现为在对应时刻上各对应点速度的方向一致，大小成比例：

）

（C）运动轨迹几何相似：表现为轨迹曲线每对应点

的坐标值成比例，斜率相等：

三、力相似：

力相似指力场的几何相似。表现为对应点上的作用力方向一致，大小成一定比例。

首先，受力体应该是几何相似。否则就

无所谓对应点了。分布载荷表现为力场几何

相似，集中载荷表现为力多边形几何相似。

若力随时间变化，还需时间相似，即对

应时刻的力方向一致，大小成一定比例。此外，

还有温度相似、浓度相似等等。

现象相似是指在对应时刻、对应点上描述

这类现象的所有同名物理量各自成一定比例关

系，若是向量则方向一致。

由此可知①相似只能是同类现象,这些现

象能用相同的微分方程描述；②现象相似首先

在空间要几何相似和时间相似。

同类现象能用相同的关系方程式或微分方程式描述。

两相似现象的同名物理量的比例值，称为相似倍数。相似倍数是一个常数。

§4 相似第一定理（相似性质）

本节研究彼此相似的现象具有什么性质的问题。相似第一定理的内容就是说明什么是相似现象的相似性质。

一、相似指标

以物体受力产生加速度这种现象为例：表征两个现象的物理量分别为Fˊ、mˊ、aˊ和

F″、m″、a″。

描述第一个现象的运动方程式为： Fˊ=mˊaˊ （1）

描述第二个现象的运动方程式为： F″=m″a″ （2）

设这两个现象相似。根据相似的概念，知道它们的同名物理量成比例：

（3）

或

代入（1）式，则描述第一个现象的运动方程式为：

（1*）

因为相似现象是同类现象，描述它们的方程式应完全一致，因此比较（1*）式和（2）式得：

此式表明，各物理量的相似倍数不是任意的，是受到这个式子的约束的。（这是由于两个现象都遵从于同一规律，各物理量间都有确定的函数关系）。这种约束关系用C表示，

即：（4）

C称为“相似指标”。

对于相似现象，C=1 。C≠1的，就不是相似现象。

C所表示的约束关系是由这类现象的自然规律所确定的，具体的说就是由描述这类现象的方程所表达的各物理量间的函数关系所确定。C在一定程度上表达了各物理量之间的关系（即现象的规律）。

相似现象的相似指标C的个数一般有若干个。

二、相似准则：

将（3）式代入（4）式，得

整理后,这种约束关系就表示成另外一种形式：

此式表明：由描述两现象的物理量组成的这个综合量对应相等。（“对应”是指这些物理量是在对应时刻、对应几何点上的取值）。这个综合量称为“相似准则”，用符号п(或π)表示:

或 (不变量)

相似准则是表征某一现象的物理量组成的综合量。其中的物理量不一定是表征现象的全部物理量。

相似准则的特点因次为1，是无因次量（无量纲）。反之，由表征现象的物理量组成的无因次量就是相似准则。

必须注意：

①相似准则包含的物理量属同一个现象；（如）

②相似准则中各物理量取值应是同一时刻同一点上的值（如脚标i表示时刻时的取值）；

③相似准则是时间和空间的函数,不是常数，即同一现象的同一准则在不同点、不同时刻的值一般不同（如）。（相似倍数在任意时刻、任意点都是一定值，是常数const）。

全由定性量组成的相似准则称“定性准则”；不全由定性量组成的相似准则称“非定性准则”。

三、相似第一定理

相似第一定理：

“彼此相似的现象，其相似指标为1。”

或“彼此相的现象，其似准则的数值相等。”

相似第一定理表述了相似现象的性质。此定理包含了如下内容（根据相似的概念，“彼此相似的现象”一句表明了①、②内容）：

①相似现象属于同一类现象，它们都可被文字上完全相同的方程式（包括描述单值条例的方程式）所描述。

②相似倍数的同名物理量各自成比例关系，相似倍数是常数。

③相似倍数不全都能任意取值，而是彼此有一定的约束关系。

§5 相似第二定理（相似条件）

相似第二定理：

“凡同类现象，当单值条件相似，而且由单值条件物理量组成的相似准则在数值上相等，则这些现象就必定相似。”

此定理说明了相似条件：

① 是同类现象；

② 全部单值条件分别对应相似；

③ 定性准则相等。

由条件“③定性准则相等”，经代换整理可得由定性量（单值条件物理量）的相似倍数组成的相似指标等于1，限制了条件“②单值条件相似”的相似倍数不能任意取值。条件③的意义就在于此。

第二定理的条件是相似的充要条件：

⑴充分条件：若单值条件条件相似，非单值条件按现象的规律也就自行相似了。这样，全部物理量都成比例，现象相似。

单值条件确定（单值条件相似）→现象确定（现象相似）→非单值条件确定（非单值条件相似）

⑵必要条件：由第一定理可知，若相似现象，则全部参数成比例，相似准则相等，即满足②③条件。（第一定理本身就可看作是必要条件）。

从“相似性质”和“相似条件”的意义出发，相似第一、第二定理又分别称为“相似正定理”和“相似逆定理”。

第二定理的指导意义：是模型设计的原则。

§6 相似第三定理

相似第三定理（又叫定理、巴金汉定理）：

“描述现象的物理量关系方程式，可以转化为相似准则之间的关系式）。”

）称为“准则关系式”。

相似第三定理可以证明。（证明略）

说明：

⑴“物理关系式”要是完整的物理方程。“完整的”是指方程的因次和谐或方程具有因次齐次性：（a）每项的因次相同。同因次的量相加、减才有物理意义。（b）方程适合于任何单位制。物理量不管取哪种单制（工程制、cgs制、国际制、英制），只要单位是统一的（属同一单位制），方程都永远成立。

例如： F=ma 因次上齐次，是一完整的物理方程。而当m=1时，F=a。F=a这个方程在因次上不和谐，不是完整的物理方程。

又例如：因次上齐次，是一完整的物理方程。而当取g=9.8时，（k是一常数）。这个方程在因次上不和谐，不是完整的物理方程。

对一些限定了物理量单位的方程，因次上不是齐次的。如1摩尔理想气体的状态方程

PV=RT 是一个完整的物理方程，

但 PV=8.31T （P—帕 V— T—开）

PV=8.2×T(ρ—大气压 V—升 T—开)

因次没有齐次性，不是一个完整的物理方程。

（2）均是表征现象的物理量组成的相似准则，包括定性准则和非定性准则。

相似准则是无因次量，所以，不管选择哪种单位制，准则关系式中的各变量在数值数上都是不变的。

准则关系式是描述物理量之间关系的另一种形式。是微分方程的解。相似现象的准则数值相等，因此它们的准则关系式在形式上和数值上完全相同。所以说，准则关系式适用于一切相似现象。这就为我们提供了模型试验结果推广的依据。

定性量给定后，现象就被确定，非定性量也随之确定了。定性量给定后，定性准则被确定，非定性准则也随之被确定，由于这种关系，我们把准则关系式表示成

由此可以研究随变化的规律。研究的目的主要是在于研究其中的非定性量。

以粘性不可压缩流液体的稳定等温流动为例，来说明如何利用准则关系式来整理、推广试验结果和利用准则关系式的优点。

研究的问题：流体压力p的规律。

P是非定性量，l（几何尺寸）、ρ（流体密度）、η（流体动力粘度）、g（重力加度）、v（流体速度）是单值条件物理量。（如果研究流速v的规律，则V是非定性量）。已知的三个相似准则

、、

中，是非定性准则，则准则关系式为

，

即

或

试验的目的就是要找出函数关系。

试验时，可通过改变V来改变Re、Fr的值。每一Re、Fr的值对应一个Eu的值，在座标上描下这些点。用曲线拟合这些点，这个曲线就是准则关系曲线，也就是要找的函数关系。

和按有因次的物理量整理试验结果比较，准则关系式有如下优点：

⑴减少了试验的内容。如果不按准则关系式组织试验，就要分别探讨l、ρ、η、ɡ、ν、对ρ的影响。而上例只需探讨Re、Fr对Eu的影响。只用改变v来改变Re、Fr意味着只需要一种试验设备和一种流体就行了。

(2)便于控制。要想控制、改变ρ、η是较困难的，但按准则关系式只需要控制Re和Fr就行了，这可以通过控制易于控制的V来达到。试验结果同样能反映ρ、η和P的关系。

（3）反映了现象的本质。按有因次量整理试验结果，得到的是、、等关系式，不能反映现象的本质，只反映了p分别和其它量的关系。

相似三定理是相似理论的主要内容，构成了模型试验的理论基础：

① 怎样由原型设计模型?由第二定理知：必须保证单值条件相似、定性准则相等的相似条件。

② 试验时测哪些数据?由第一定理可知：应该测量（这里的“测量”还有“控制”的意思）相似准则中包含的所有物理量。因为相似准则体现了模型和原型的联系。

③ 试验结果如何处理？由第三定理可知：应该整理成准则关系式。这样就可以推广到一切相似现象。

§7 方程分析法求相似准则

方程分析法有相似转换法和积分类比法两种。它是根据已知的微分方程组和单值条件来求相似准则。

既然方程都知道了，为什么还要作试验？这是因为有时方程很复杂，求解非常困难，只得依靠试验来求解。有时得到的方程式在建立过程中，为了简便起见，作了许多假设，这时就仅是利用这个假设的方程来求相似准则而己。

一、相似转换法

（例）图示系统，求相似准则。

解：

⑴ 写出方程式和初始条件：

方程式

初始条件: t=0时,

(单值条件只需写出那些随现象的进行而要发生变化的物理量，即初始条件。)

（2）写出相似倍数表示式

，，，，，；

(3)相似转换

第一现象：（1）

第二现象：（2）

由相似倍数表示式有

，， , , ,

代入（1）式得：（注意d(cx)=cdx d(cx)=cd d(cx)）

到（1*）

比较（1*）、（2）式有

（3）

同样地、由两个现象的单值条件：，

得（4）

（注意：（1*）式右端为0；左端每一项都有一个相似倍数因子。（3）和（4）式可以等于任意值，也可以等于1，但不恒等于1，故不能在右边写“=1”。若等于1时，不能将、、、、等误认为是相似指标。这可容易地用因次等于1证明、kx、F等不是相似准则。）

由（3）、（4）式有

得相似指标相似准则

描述此现象的物理量m、k、t、F、、x中，前五个是定性量，只有是定性准则。在这些物理量中，往往容易漏掉。所以应该特别注意初始条件的物理量和由初始条件得到的相似准则，不要遗漏了。

在以上准则中，因，故、和中只有（任意）两个是独立的。对于相似现象，只要独立的相似准则相等了，由独立相似准则导出的相似准则自然也就是相等的。因此在模型试验中，只需要讨论独立的相似准则。在用方程法求相似准则时，只讨论（3）式中某1个量分别和其它量相等的情况，其它量相等则不需讨论。

二、积分类比法

描述相似现象的方程是完全一样的。方程式中，任意对应的两项比值应该相等。由于方程的因次是谐和的，即各项的因次相同，所以任意两项的比值是无因次量。因而这个比值就是一个相似准则。

如

的任意对应两项之比相等：、

第一个等式是一个相似准则，第二个等式里有微分符号。下面讲怎样处理微分符号。

设（有脚标）表示同一现象的第个状态的u值。

常数

取极限，由于常数的极限等于它本身，有

∵

∴ 即

同理即

以上三个式子说明：相似现象的有微分号的对应量之比，等于去掉微分或偏微分符号“” “”相应量之比。（注意：上式得不出的结论，因为u和t不是对应项。和才是对应量。）

因此：

去掉“d”符号：

∴ 即

由的结果可知，直接将两项比值中的微分符号去掉，就得到相似准则了。

将积分类比法归纳成以下步骤：

1）．写出现象的微分方程组和初始条件；（不需要分别写出两个现象的方程和初始条件了）

2）．用方程式中的任一项（只需一项，如果用了两项，得出的相似准则将有不独立的）除以其它各项（性质相同的项仅取其中一项）；

3）所有微分量用相应量代替；沿各座标的分量用总量代替（如速度分量、┉用总量V代替）；座标量用定性尺寸代替（如长x、宽y、高z等几何量用一个定性尺寸L代替）。

三、相似函数和非相似函数

讨论相似函数和非相似函数，可以说明模型试验的局限性。

例1：由方程式（k、e是常数）求相似指标。

解：

相似倍数，

则第一个式子为

和第二个式子比较，得：

各相似倍数都等于1，意味着不能得到相似的模型，不能进行模型试验。

例2：有（1）

（、是常数）（2）

用相似转换法：

将相似倍数代入得（1）式：（3）

比较得（1）、（3）式，有。说明不能进行模式模型试验。

用积分类比法：

由任意两项之比相等，有，；

即，；

得，，。

即有，。与用相似转换法得到的结论相同。

（若B=0，则得。说明可进行模型试验，是相似函数。）

以上两个函数式都不能得出相似倍数，的约束关系，即不能得到相似指标。

我们称能用方程分析法得到相似指标的函数式叫“相似函数”，不能用方程分析法得到相似指标的函数式叫“非相似函数”。

§8 因次分析法求相似准则

在多数情况下，各物理量之间关系是末知的，写不出方程式来。只能写出不定函数式：

f（a，b，c，…‥）=0 a，b，c，…‥是表征现象的物理量

这时，就只有用因次分析法来找相似准则。

因次分析法有很多用途，找相似准则只是其中的一个。由于因次分析法在找相似准则中的重要作用，因次分析和模型试验结下了不解之缘。

一、因次的概念：

“因次”又叫“量纲”。

我们这里把物理量单位的种类（性质）叫因次。

种类：长度、质量、温度、时间、…‥，就是不同的种类。它们有各自的因次。用分别[L]、[M]、[t]、[T]表示。

物理量单位：除了指明物理量所属种类外，还涉及到大小的问题。如米、市尺、英寸、等等，都是长度单位，是属“长度”这个种类的，它们的每1单位大小不同。它们的因次都是长度的因次[L]。

因此，因次只涉及物理量的性质，而不涉及它的大小。

物理量分“基本量”和“导出量”；现象可由基本物理量表征，也可用导出物理量表征。相应地，物理量单位分“基本单位”和“导出单位”，物理量因次分“基本因次”和“导出因次”。

导出量是由基本量导出的，可由基本量表示；导出单位是由基本单位导出的，可由基本单位表示；导出因次是由基本单位导出的，可由基本因次表示。

例如：

由基本量长度、时间、质量导出力，导出量力可由基本量表示为；

由基本单位m（米）、S（秒）、Kg（千克）导出N（牛），导出单位N可由基本单位表示为；

由基本因次[L]、[T]、[M]导出[F]，导出因次[F]可由基本因次表示为[L]·[M]· [T]-2 ，或[L] ·[M] · [T-2]，或[LMT-2]。

所谓“基本量（或基本因次）”和“导出量（或导出因次）”是相对的，可以取任意的量（或因次）为基本量（或基本因次）。但基本量（或基本因次）必须互相独立，即任何基本量（或基本因次）不能由其它基本量（或基本因次）导出，（如可以取L、F、不能取L、T、V），但必须完整，即任何其它量（或因次）都可由基本量（或基本因次）导出。

国际单位制规定了七个基本单位：m（米）、Kg（千克）、S（秒）、A（安培）、K（开尔文）、mol（摩尔）、cd（坎德拉）。

在力学中，我们常以长度、质量、时间、作为基本量，相应地，取[L]、[M]、[T]作为基本因次。其它物理量的因次，可由基本因次表示： [A]=[L][M][T]或 [A]=[L] [M] [T]

任何物理量的因次都是基本因次的幂乘积。例如：

速度 [V]=[L][T-1][M 0]=[LT-1]

角加速度 [ω]=[L0][T-2][M0]=[T-2]

角度因次为[1] （以弧度来理解）

可按物理量间的关系式写出因次，如：

∵ 振动频率

∴

相似准则是无因次量，，又称其因次为1。

二、因次分析法求相似准则

根据

① 相似准则是表征现象的各物理量的幂的乘积，即；

② 相似准则的因次为[1] ( ); 由表征某一现象的物理量组成的无因次量是相似准则。

在已知表征现象的全部物理量的条件下，就可求得相似准则。

例：求物体受力产生运动的现象的相似准则。

解：

1）写出描述现象的全部物理量：m、F、v、t ；

2）写出相似准则通式及其因次

准则通式 π=

准则通式的因次

将其因次表示为基本因次的形式：

, , ,

∴

3）根据[π]=[1] 解出准则通式中的末知指数

由得方程组：

解方程组，得

有无穷多组解。其基础解只有一组。其余的解都是基础解的线性组合。

令，得一基础解：，，，

4）写出相似准则

将方程的解代入准则通式，得到相似准则。（此准则称为牛顿准则）

5）验算

验算[π]是否为[1]，如果为[1]，说明正确。如果不为[1]，就错了，应检查物理量的因次是否弄错、解方程组是否出错。

如果又令，则，，，这一组解是基础解的线性组合，由此得到的准则，是不独立的。所以，相似独立准则的个数和基础解的个数相等。

由这个例子可以看出用因次分析法求相似准则的主要过程就是由“根据①”写出相似准则的通式，再由“根据②”解出通式中的未知数，，…‥。在实际中，要找出表征现象的全部物理量往往是困难的。

物理量。多了或少了，对结果都有影响。

例如，在上例中，若多一个物理量加速度a，将得到两个相似准则，。如果经过试验，将得到结果：1，那就找到了F、m、a、之间的关系，但这个关系是我们早已知熟知的，由此是没有什么意义的，反而增加了试验的内容。所以，要注意判断哪些是不独立的物理量（即可由另外的物理量推导得出），在解题的第一步骤中就不应将它们列入。例如，对于同一物体的速度V、a、x、t中，就只有两个量是独立的。若将它们都代入，就将得到，或等没有意义的相似准则。

又如，如果将表征同一物体的几何尺寸a、b、c都列入，将得到相似准则、或。这些准则的物理意义是两相似现象中的这个物体的对应尺寸成比例。但只要我们保证了物体的几何相似，这些准则对试验来说就是没有多大意义的。通常，对这些有相同意义的物理量只需取其中一个就行了。但对于相似准则（是单值条件），则是必要的，它表示了对初始条件的限制。

在描述现象的方程中，有时存在有因次的常数，如气体常数R。在因次分析中考虑物理量时，往往容量漏掉有因次的常数，从而造成错误。

总之，用因次分析法时，必须对所研究的现象的物理实质有必要的了解，才能正确确定参与现象的物理量。如果了解甚少，就只有经过反复试验来判断所确定的物理量是否全面、正确。

三、独立相似准则的完整集合

1. 独立相似准则

表征现象的物理量组成的无因次量都是相似准则。相似准则的加、减、乘、除、幂都是无因次量，亦都是相似准则。相似准则一般不用有加、减号形式，且乘、除实质上是指数为1的幂的乘积，所以说“相似准则的幂的乘积也是相似准则”。由此可知，一类相似现象的相似准则有无穷多个。但其中有些准则可以由其它一些准则的幂的乘积来表示。

所谓独立，是指准则之间的关系。单独一个，谈独立没有意义。相似准则之间相互独立，是指这些准则中的任何一个都不是其它准则的幂的乘积，即不能相互转换。

例如：设，，，π1，π2，π3 相互独立。

则 π1，π2，是不独立的，其中任意两个独立的；

,,=是独立的，其中任意两个也是是独立的。

2．独立相似准则的完整集合

由上例，,是独立的，, ，也是独立的，这种独立的准则集合可能包括最大的独立准则个数，就是所要讨论的独立相似准则的完整性。

若,…是现象的独立相似准则，而且现象的其它任何相似准则都可以表示为这些准则的幂的乘积，则称,…为该现象的独立相似准则的一个完整集合。

完整集合有无穷多个。每一个完整集合的相似准则数都为。若这个集合的相似准则数＞则不独立；若准则数＜,则不完整，其它准则中就必定有些准则不能用这个集合中的准则的幂的积来表示。无穷多个完整集合中的任何一个完整集合，都可以代表这个现象的全部(无穷多个)相似准则，因此求相似准则就是要求出一个独立相似准则的完整集合。

3.求独立相似准则的完整集合的准则数目

先确定完整集合中独立准则的个数,再找出个互相独立相似准则。这个相似准则就是一个独立相似准则的完整集合。

设表征某现象的物理量,,共n个。其因次为 =1,2,…,n

相似准则通式 ,,…

相似准则的因次

定理：齐次线性方程组的系数矩阵的秩时，只有唯一零解；当时，有无穷多组解，每组基础解系包含个解向量。

基础解系：1.k个解向量（将解看成是n维向量）线性无关；2.任意解向量是基础解向量的线性组合。

基础解不是唯一的，但其解向量的个数是一致的。

如果有不完全为零的数…,存在,使，那么线性相关；如不存在,也就是只有当…,都是零时上式才成立,那么线性无关。（为解向量，即）

秩是矩阵中不为零的子式的最高阶数。

系数矩阵 …

…

若矩阵的秩为r，则方程组基础解解向量个数。

方程组的解就是相似准则中物理量的指数。若有几组解线性相关，则对应的相似准则就不是互相独立的。若有几组解线性无关，则对应的相似准则是互相独立的。基础解是解的最大线性无关组，因此，它所对应的个独立准则就是一个完整集合。

所以，可知一个完整集合的独立准则数和方程组的基础解个数相等。即

独立准则数=物理量个数秩（）

一般基本因次都有三个，方程组有3个等式，系数矩阵有3行，所以秩不大于3。大多数情况下，=3。特别是如果物理量中有因次分别为或、、的三个物理量（“长度、时间、质量”或“长度、时间、力”），那么系数矩阵中必然有一个三阶子式：

1 0 0 1 1 0 ——对应[L]

0 1 0 或 0 1 0 ——对应[M]

0 0 1 0 -2 1 ——对应[T]

不等于零，系数矩阵的秩=3。

对于方程分析法，独立准则数m = 不同类项数—1

四、用矩阵求相似准则（因次分析法求相似准则的规格化）

例：不可压缩液体的等温稳定流动

解：

1．考察表征现象的物理量：

2．写出各物理量的因次：

，，，，，

3．写出因次矩阵

p η g ρ ——物理量

——物理量的指数

L -1 -1 1 1 1 -3

M 1 1 0 0 0 1

T -2 -1 -2 -1 0 0

右下角是一个矩阵，就是方程组的系数矩阵。

4．计算秩和独立相似准则的个数

计算矩阵的秩：右边的三阶子式

+1 +1 -3

0 0 0 ≠0 , ＝３

-1 0 0

由此可知相似准则的一个完整集合有（6―3 = 3 ）个相似准则。

5．写出方程式组：

-χ1-χ2+χ3+χ4+χ5-3χ6=0

χ1+χ2 + χ6 =0

-2χ1-χ2-2χ3-χ4 =0

解方程组：

（后个末知数用其余未知数表示） χ4=-2χ1-2χ2-2χ3

χ6=-χ1-χ2

χ4=-2χ1-χ2-2χ3

6．求相似准则

（n —）个

р η g v l ρ

χ1 χ2 χ3 χ4 χ5 χ6

π1 1 0 0 -2 0 -1 (令χ1=1,χ2=0,χ3=0，则χ4=2,χ5=0，χ6=-1)

（n —）个 π2 0 1 0 -1 -1 -1 右下角是方程组的解矩阵

π3 0 0 1 -2 1 0

写出相似准则: ，，。

这是一个独立相似准则的完整集合。

在求相似准则时，应注意：

⑴ 因次矩阵和上面这个表格中，物理量排列的次序不同，得到的相似准则的形式就不同，结果是另外的完整集合。从上面这个表格可以看出,左边三个物理量只在完整集合中的一个准则中出现，而且在准则中其幂为1。由此,我们可以合理地安排物理量的排列次序,以便进行试验和整理试验结果：

a）尽量使每个非定性准则中仅含一个非定性量。一般非定性量是被研究的量。于是，尽可能将量非定性量排在前面。

b）尽量使每个定性准则中只含一个易调节的定性量。于是，尽可能将易调节量排在前面。

c）可能忽略的量排在前面，只在准则集合中出现一次。

⑵ 有时会出现有不重复的因次的情况，如研究气体时，有物理量 P、V、T，只有T是温度因次。谁和它组成无因次量的准则呢？这时就需要考虑是否还有一个含有因次的常数？（这个常数是R）

⑶ 无因次物理量本身就是一个相似准则,如摩擦系数、角度等。

例如：对于不可压缩液体的等温稳定流动，p是非定性量，其余是定性量，定性量中v容易调节。试验结果整理为：

，，…）

即，

，

Eu只含一个非定性量，就可整理为：，

Eu，Re，Fr 都含有易调节量V。一变动V，三个准则的值都要变动。如果将p、v、l、排在前面，就得

p v η

π1 1 0 0

π2 0 1 0

π3 0 0 1

这时若调节v，只变动π2，若变动l，只变动π3 。这样，整理试验结果

，

就方便多了。

例：在弹性范围内，求独立相似准则的完整集合。

解：1、描述现象的物理量：力P、弹性模量E，几何尺寸、挠度y、应力、转角。

定性量非定性量

2．物理量的因次：，，，，，

3．因次矩阵：（将易调节的定性量P、非定性量、无因次量排在前面）

P y E

χ1 χ2 χ3 χ4 χ5 χ6

[L] 1 -1 1 0 -1 1

[M] 1 1 0 0 1 0

[T] -2 -2 0 0 -2 0

4．因次矩阵（系数矩阵）的秩=2（第三、四行线性相关）。独立相似准则完整集合的准则个数

5．解方程组

χ1-χ2+χ3+χ5+χ6=0

χ1+χ2 +χ5 =0

-2χ1-2χ2 -2χ5 =0

得

χ5= -χ1-χ2

χ6=-2χ1-χ3

6．求相似准则

个个

χ1 χ2 χ3 χ4 χ5 χ6

π1 1 0 0 0 -1 -2 定性推则

π2 0 1 0 0 -1 0

π3 0 0 1 0 0 -1 非定性准则

π4 0 0 0 1 0 0

事实上，无因次量本身就是一个相似准则，可直接写出（不必将列入上面的矩阵中），即。说明，两现象的转角相等。

若将θ列在后个内，前（n-）个χ取任何值都不能约束θ的指数取值，即θ的指数可取任意值。但不能全都取为0，否则准则中将没有，就不完整了。

§9 相似准则形式的选择和试验数据的处理

一、相似准则的转换

相似准则的幂和乘积还是相似准则. 相似准则的完整集合有许许多多。相似准则的形式有随意性。由此，我们可以选择一种完整集合，使其中的准则形式在使用中更方便。

对得到的相似准则的原始形式，用它们的幂的乘积，也可以用它们的和，改变相似准则的形式，以尽量达到以下目的：

1）．使相似准则有明显的物理意义。

2）．使相似准则转换成常用的准则形式。

3）．使相似准则形式有利于试验的控制和数据处理（形式简单、不包含难测量的量等）。

准则转换的原则：保持相似准则的无因次量属性；保证是一个独立准则的完整集合。

上节所述的“物理量的排列次序”实质上也是对准则形式的一种选择。

二、试验数据的处理

根据相似第三定理，试验结果都应该整理成为准则关系式 π1．π2 ．…πm）＝０。

通常把非定性准则作为因变量，定性准则作为自变量，准则关系式则为

） ——任一非定性准则

各种现象的准则关系式在自变量的某个范围内、一般都可以采用幂函数的形式，即

，… C，，… ——常数，由试验确定

C，，… 一旦确定，这种关系只能保证在“某个范围”内成立，并且往往带有误差。

1）．只有一个时，准则关系式为

上式取对数：

这是形如y = B + kχ的直线方程。试验中，由不同的值得到一系列对应的值。若将这些点描在对数座标图上，其中的某部分就可用一条直线来拟合。由这条直线的斜率、截距，可以确定出C、n值。

2）．有两个时，准则关系式为

，

取对数：

这是形如 Z = B + n1χ+ n2y的二元直线方程，在空间的对数座标是一直线。

3）．没有定性准则时，准则关系式为

试验中，给出中的定性量，得到中的非定性量，就可以得到C值，并由此确定各量之间的关系。

例如：物体受力、的值，，测出的值，得到C的值，即：

此准则关系式可以推到相似现象：

这种同类现象都有或的规律。

§10 模型试验的局限；近似模型试验

1）．非相似函数所描述的现象不能进行完全相似的模型试验，但有可能在一定精度要求条件下，将非相似函数改变为相似函数，进行近似模型试验。

2）．对于复杂现象，相似准则个数很多，要作到每个准则都相等，即相似指标等于1，是很困难的，甚至有时是不可能的。可以（1）忽略次要准则或（2）忽略次要物理量，作近似模型试验。例如，对于粘性不可压缩流体作等温稳定流动，如果模型采用和原型相同性质的流体，即：

，，另有

则由相似准则 , 或相似指标，得；

又由相似准则 , 或相似指标，得。

显然，只要，上面二式就不能同时成立，即不能得到完全相似的模型。只能作近似模型试验。例如粘性流体作强迫流动，起主要作用的是粘滞力，重力的影响很小。因此，设计模型时，保证的值与原型相等，忽略反映重力的准则，准则关系式近似地表达为。忽略实质上主要是忽略反映重力的物理量g 。因此在求准则和进行准则转换时应注意让被忽略的物理量只出现在一个准则中，否则就无法忽略了。

3）．由于边界效应和尺寸效应，模型和原型不可能完全相似。例如流体流动的管壁粗糙度、简支梁铰链的摩擦、焊缝的尺寸等都不可能完全相似。一方面，将模型推广到原型时，要对这类原因引起的偏差给与足够的重视。另一方面，对于那些对现象的影响不大的参量，只作近似的保证或忽略不计。

4）．对随机过程无法进行模型试验。

在实际应用中，绝大多数都是采用的近似模型试验。这一方面是由于做到完全相似是极其困难的，甚至是办不到的，另一方面也没有必要做到完全相似，只能保证一定的精度要求就行了。