第二章 质点运动学
教学时数:10
教学目的与要求:
（1）使学生牢固掌握即时速度和即时加速度的概念。
（2）要区分时刻与时间间隔以及位置坐标、位置矢量、位移和路等概念。
（3）要求掌握位移图线与速度图线，并能应用它们来计算位移及速度、加速度。
（4）要熟练掌握匀加速直线运动规律并能灵活运用，重点研究自由落体及竖直上抛运动。
（5）掌握好位移、速度及加速度的矢量性，能正确进行速度的合成分解。仅讲授动坐标系作平移的情况下的相对运动。
（6）要熟练掌握圆周运动及切向加速度、法向加速度的意义。
（7）通过抛体运动的学习，使学生对运动的独立性及运动的合成有明确的认识。
（8）在圆周运动基础上介绍一般曲线运动，但不作深入研究。
（9）熟练掌握在不同坐标系下，速度、加速度的表达形式。
教学重点:
参照系和坐标系；质点；时间和时刻,位置矢量，位移、速度、加速度；运动方程，运动迭加原理，切向加速度和法向加速度。角位移、角速度、角加速度；角量与线量的关系,相对运动.
教学难点:
运动方程, 相对运动
本章主要阅读文献资料:
顾建中编 《力学教程》 人民教育出版社
赵景员、王淑贤编 《力学》 人民教育出版社
漆安慎 杜婵英 《〈力学基础〉学习指导》 高等教育出版社
质点运动学方程
一、质点的位置矢量与运动学方程
位置矢量的引入，例：研究某时刻直升飞机在空中的位置。
首先选择参考系如图：设地面上的某一点为参考点，飞机视为质点。
仅由飞机和参考点的距离
并不能确定飞机的方位（飞机可以位于以参考点为球心的球面上的任何位置），只有确定飞机的方位，才能完全唯一的确定飞机的位置。
1． 位置矢量的定义：
由参考点指向质点所在位置的矢量为质点的位置矢量，简称“位
矢”。如图中的
，即是 P 点的位矢：通常用 
表示。
若建立如图所示的直角坐标系，令坐标原点和参考点重合，则有位矢 的正交分量形式：
（1）
上式中的
称为位置坐标，即：位矢 在坐标轴上的投影。
有上述定义可知：“位矢 ”可以描述质点的位置。同样：建立坐标系后的“位置坐标”也可以描述质点位置。
位矢的大小：
位矢的方向（用方向余弦表示）：
2．质点的运动学方程 
由于质点的运动，不同时刻，位矢不同，故有：
（2）
上式即为质点的运动学方程。即：位矢 随时间的变化规律
质点的运动学方程描述：任意时刻质点的位置。
建立直角坐标系：
（3）
∴ 质点运动学方程的标量形式为：
(4）
二、位移——位置矢量的增量
设：飞机在 t 时刻位于 P 点，位矢为 
；
在
时刻位于 Q 点，位矢为 
。
1. 位移的定义：质点初位置引向末位置的矢量，称为这段时间的位移。简称位矢的增量：
（5）
2.位移在直角坐标中的正交分解式：
∴ 
(6）
上式表明：位移可由位置坐标的增量决定：
（7）
上式即为直角坐标系的正交分解形式。
3.路程：在一段时间内，质点在其轨迹上经过的路程的总长度。
位移与路程的区别：
位移是矢量，路程是标量；一般情况下二者大小不等
，但质点作单方向的直线运动时，位移大小与路程相等；当 
，即：时间无限短时，位移大小与路程相等。
练习题：质点运动学方程为：
(1)求质点轨迹；(2)求自t＝一1至t＝1质点的位移。
速度和加速度矢量
一、平均速度与瞬时速度
考虑质点在
时间内，发生的位移： 
（一） 平均速度
1、 平均速度的定义：
（1）
即：质点的位移与发生这段位移所用的时间的比值，就叫做这段时间的平均速度。
或者：平均速度等于位置矢量对时间的平均变化率。
2、 平均速度的性质：
平均速度是矢量，方向沿该段时间的位移方向，即和
的方向一致。
3、 平均速度的正交分解式：
在直角坐标系中，由于位移
，则 
，因此平均速度的分量表达式为：
（2）
即：平均速度的在直角坐标系的投影等于位置坐标对时间的平均变化率。
4、 意义：
平均速度仅提供该段时间内总体上位置变动的方向和平均快慢的程度。时间越短（
越小），平均速度越能精细地反映运动状况。
（二） 瞬时速度
由（1）式平均速度定义可知：
当
时， 
将趋于某一极限值，其方向趋于 t 时刻质点所在位置轨迹（位置矢量矢端曲线）的切线方向，大小反映了 t 时刻质点运动的快慢。
1、 定义：
质点在 t 时刻的瞬时速度等于 t 至
时间内平均速度在 
时的极限。
符号为：
；数学公式为:
（3）
即质点的瞬时速度等于位置矢量对时间的变化率。
也就是：质点的瞬时速度等于位置矢量对时间的一阶导数。
2、 瞬时速度在直角坐标系中的正交分解式：
， 
， 
即：瞬时速度矢量的投影等于对应位置坐标对时间的一阶导数。
3、 讨论：
瞬时速度的方向沿该时刻质点所在处轨迹的切线，并指向质点运动的方向。
瞬时速度的大小反映质点在该瞬时运动的快慢，称为“瞬时速率”，
二、平均加速度与瞬时加速度
（一）、平均加速度
设
时刻质点速度为 
, 时刻的速度 
速度的增量：
1、 定义：
速度的增量（变化量）与发生这一增量（变化量） 所用时间之比为这段时间的平均加速度。
符号：<
>
性质：矢量
数学表示式：
平均加速度也称作速度对时间的平均变化率。
2、 意义：
平均加速度反映该段时间内总体上速度变化的快慢和
方向，其方向沿速度增量的方向。
3、 平均加速度在直角坐标系中的分量形式：（自己推导）
即：平均加速度矢量的投影等于速度矢量对应投影对时间的平均变化率。
（二）、瞬时加速度
1、定义：
质点在 t 时刻的瞬时加速度等于 t 至 时间内平均加速度在 时的极限。
符号：
数学表示： 
即：质点的瞬时加速度等于速度矢量对时间的变化率或一阶导数。
或者：质点的瞬时加速度等于位置矢量对时间的二阶导数。
2、意义：
瞬时加速度的大小反映速度变化的快慢。
瞬时加速度的方向沿速度矢端曲线（速度矢端曲线：若令速度矢量均自一点出发，则速度矢量矢端描出的曲线）的切线，且指向时间增加的方向。
3、瞬时加速度在直角坐标系中的正交分解式：（推导过程省略）
即：瞬时加速度在坐标轴上的投影等于位置对时间的二阶导数。
由上述公式可知：若已知质点运动的运动学方程
，即可通过微分学而求得质点运动的速度 
和加速度 
。
讨论：
原因：
∵
而 
其中 
是位矢差的模， 
是位矢模的差；显然不同，如图所示。由此可知： 
同理有：
即：两端同时去掉矢量箭头是不成立的。
例题：两根足够长的细杆AB,CD分别以
和 
沿如图所示垂直于杆的方向运动，求两杆交点处的速度
。
解：设t时间后，两杆运动的位置如图所示
和 
，又设初时刻两杆间的夹角为 
，则有： 
，建立如图的坐标系，原点O在两杆初时刻的交点处， 
轴沿杆AB的方向， 
轴与 的交点是P点， 和 的交点是 
点，有 ：
练习题 1.一小圆柱体沿抛物线轨道运轨。抛物线轨道为y＝x2／200(长度：毫米)。第一次观察到圆柱体在x＝249mm处，经过时间2ms后, 圆柱体移到x=234mm处．求圆柱体瞬时速度的近似值。
2：(1)
，R为正常数；求t=0，
时的速度和加速度。
(2)
,求t＝0,l时的速度和加速度〔写出正交分解式)
质点直线运动（1）——从坐标到速度和加速度
一、运动学方程
选择ox轴的坐标系，原点位于参考系的参考点上，ox轴与质点的轨迹重合，则质点的位置矢量：
（1）
由于单位矢量
是一恒矢量，位矢的矢端与位置坐标 
一一对应，所以有标量函数：
（2）
可以描述质点的直线运动。（2）式可以称为质点直线运动的运动学方程。
二、速度与加速度
沿x轴运动的瞬时速度大小：
，其正负对应于质点沿ox轴正向和负向运动。
沿x轴运动的瞬时加速度大小：
，其正负对应于质点加速度沿ox轴正向和负向。
注意：加速度的正负不能说明质点作加速或减速运动。
例如：匀速直线运动中： 
；
匀加速直线运动中 ：
其中： 
。
例如：自由落体运动： 
竖直上抛运动： 
（g始终是正值 g>0）
竖直下抛运动： 
注意：一旦建立起坐标轴（坐标系），则涉及的物理量的符号依据坐标轴的正方向而确定。
1.图中a,b和c表示质点沿直线运动三种不同情况下的x-t图，试说明三种运动的特点(即速度，计时起点时, 质点的位置坐标，位于坐标原点的时刻).
2.在水平桌面上放置A、B两物体，用一根不可伸长的绳索按图示的装置把它们联结起来．c点与桌面固定．已知物体A加速度aA=0.5g．求物体B的加速度.
3.质点沿直线的运动学方程是：x＝10t十3t2.
(1)将坐标原点沿o-x正方问移动2米，运动学方程如何?初速度有无变化?
(2)将计时起点前移1秒，运动学方程如何?初始坐标和初速度都发生怎样的变化?加速度变不变?
4.质点由坐标原点出发时开始计时，沿x轴运动，其加速度
，求在下列情况下质点的运动学方程出发后6s时质点的位置、在此期间所走过的位移及路程：
（1）
;(2)初速度大小为9cm/s,方向与加速度方向相反。
质点直线运动（2）—从加速度到速度和坐标
一、从速度到运动学方程和位移
仅仅知道速度随时间的变化规律，还不能唯一确定运动学方程。
已知：
， 求： 
因为： 
由牛顿—莱布尼兹公式得：
（1）
即：位置坐标是速度的一个原函数。
是 
的某一个原函数，C表示任一常数。
要想唯一的确定质点的位置坐标 ，必须确定常数C。假如给出某时刻质点的位置坐标，即位置坐标的初始条件，一般形式为：
（2）
叫作初坐标，（2）式代入（1）式得： 
即：
（3）
上式表明只要给定位置坐标的初始条件，便可根据质点的速度唯一确定质点的运动学方程：
（4）
即：质点的位移等于其速度在发生位移这段时间间隔内的定积分。
由（4）式可知：只要给定始末时刻，就可以由质点的速度求其位移，此并不需要初始条件。
二、已知加速度求速度和运动学方程
前一节我们已经知道怎样由速度求加速度。反之，若已知加速度，并不能唯一地确定质点的速度。
若同时给出某时刻质点的速度即可唯一的确定质点的速度（即若知道初始条件）：
（5）
若速度的初始条件为：
则可得： 
即： 
（6）
上式就是速度随时间的变化关系式。
如果又给出位置坐标的初始条件，则可按本节开始时的方法求出质点的运动学方程。
即：给定加速度连同初始坐标和初始速度即可确定运动学方程。
练习题:
1.在195m长的坡道上，一质点以18km／s的速度和一20
的加速度上 坡，另一质点同时以5．4km／s的初速度和0.2的加速度下坡． 问：(1)经过多长时间两质点相通； (2)两质点相遇时，各走过多少路程．
2.站台上送行的人，在火车开动时站在第一节车厢的最前面．火车开动后经过24s第一节车厢的末尾从此人的面前通过，问第七节车厢驶过他面前需要多长时间?火车做匀加速运动．每节车厢长度相等．
3.电梯以1.0m／s的匀速率下降，小孩在电梯中跳离地板0.50m高，问当小孩再次落到地板上时，电梯下降了多长距离?(本题涉及相对运动，亦可在学过伽利略变换部分后作)
平面直角坐标系 • 抛体运动
一、平面直角坐标系
质点的平面运动是指质点在平面上的曲线运动（包括直线运动）。
作平面运动的质点的运动学方程在平面直角坐标系中的表示为：
（1）
由（1）可知：平面运动状况需要由两个独立标量函数
和 
决定。
(2）
即： 
和 
为速度矢量的方向角。
同理：
（3）
即：
和 
为加速度矢量的方向角。
反之：由质点平面运动的速度和质点位置的初始条件：
（4）
（5）
推广：质点沿空间曲线运动，在z方向上也有：
二、抛体运动
1、首先选择平面直角坐标系，原点选在抛出点处。如图所示：
表示被抛质点的坐标，初速度为 
，与x轴之间的夹角为 
。
选择抛出时为计时起点。
有： 
∴ 位矢： 
注意：以上讨论未涉及空气阻力的影响。
2、用“矢量”讨论抛体运动
如图所示：设物体在t=0时自O点被抛出，t时刻的位置矢量为
，将分解为：
（1）沿初速 方向 
，（2）沿铅直向下的方向
。
即： 和 组成一斜坐标系。
方向：质点以作匀速直线运动， 
方向：质点以加速度作自由落体运动 
。
所以：
例题1：图中抛体发射前，瞄准高处的靶子，采取措施使靶子再抛体发射的同时开始自由下落，那么，不管抛体的初速度怎样，抛体都能够击中靶子，为什么？
解：如果没有重力加速度，靶子就不会落下来，抛体也必沿着瞄准的方向以初速度匀速前进，并打中靶子。这时抛体经过的位移的大小等于
，其中t为抛体从发设点到命中目标点经过的时间。
但是实际上，在t时间内，抛体除了进行位移
外，还发生因重力加速度而引起的附加位移
，并最终达到点
。
与此同时，靶子自A点自由下落，并经历了位移
，且大小等于
，并达到
点。因
，所以
，点与点重合，抛体击中了靶子，如图所示。
以上的讨论没有对抛体发射速度提出任何限制。如不考虑地面对靶子和子弹下落高度的限制，不管发射速率如何，都是可以命中的。
例题2：追击炮弹的发射角为
，发射速率为 
，炮弹击中倾角为
的山坡上
的目标，发射点正在山脚，求弹着点到发射点的距离OA。
解法一：建立如图的直角坐标系，将重力加速度沿x轴和y轴分解，得：
|
∴y=0 (即:由O点出发，又落至A点） 
(3)
有（1），（3）式可知：
解法二：建立如图的直角坐标系：
练习题
雷达观测员正在监视一越来越近的抛射体．在某一时刻，靠它得到这样的信息： (1)抛射体达到最大高度且正以速率v沿水平方向运动， (2)观察者到抛射体的直线距离为L;(3)观测员观察抛体的视线与水平方向成θ角．
问： (1)抛射体命中点到观察者的距离D等于多少?
(2)何种情况下抛射体飞越观察员的头顶以后才击中目标？何种情况下抛射体在未达到观测员以前就命中日标?
自然坐标• 切向和法向加速度
一、自然坐标
如图所示，沿质点运动轨迹建立一弯曲的坐标轴，选择轨迹上一点
为“原点”，用由原点 至质点位置的弧长S 作为质点位置坐标，若轨迹限于平面内，弧长S 叫做平面自然坐标。
S 的正方向：沿坐标增加的方向（人为规定），S 可正可负。
质点的运动学方程：
利用自然坐标对矢量进行正交分解：
（1）沿切线方向：
切向单位矢量：沿曲线切线且指向自然坐标S 增加的方向为单位矢量，通常用
表示。
（2）沿法线方向：
法向单位矢量：沿曲线切向且指向曲线凹侧的单位矢量，用
表示。
A点的 和 如图所示 。
注意：任何矢量都可向 和 方向作正交分解。另外 和 不是恒矢量，虽然大小时时刻刻都是1，但它们的方向通常随质点位置的改变而变化。故 
， 
二、速度
由速度的定义
， 
， 
的方向趋于位移起点处的切线。
的大小趋于对应的弧长 。如图示： 时， 
， 
可正可负。
∴ 的方向与 的方向相
同或相反。
令：
为速度在切向单位矢量方向的投影，得： 
讨论： 不同于速率 
： 可正可负，而速率 仅大于零。
因为：
。S增加的方向与 方向一致， 
， 
，即质点沿 方向运动。若 
， 
，即质点逆 而运动。
即： 可正可负，而速率v只是正的数值。
因此，在自然坐标系中，质点任何时刻的速率沿轨迹的切
线，速度
仅有切线投影 ，不存在法向投影，所以 
。
三、加速度
1、 速度的改变量
在AC上截取AD=AB，所以 
（3）
若速度的方向不变，
，所以 
是由速度的大小改变而引起的变化量。
若速度的大小不变，
，所以 
是由速度的方向改变而引起的变化量。
总之：
是由速度的变化而引起的。
2、 曲率——曲线的弯曲程度
考虑质点轨迹上的两段相等的弧长
和 
，均等于 。
：A点附近的弧 
的两端点处切线的夹角。
：B点附近的弧 的两端点处切线的夹角。
表示曲线在弧 段上的平均弯曲程度， 
表示曲线在A点上的曲率（k）, 
(4)
曲率越大，弯曲程度就越大。
例如：圆的曲率
， 半径越大，k越小。
即：圆是各点曲率都相同的曲线。
直线的曲率：k=0 
处处为零。
曲率半径：
圆的曲率半径是 
，直线的曲率半径是 
。
补充：在平面直角坐标中，若一曲线方程为：
，则它的曲率为：
3、 加速度
见右图有： 
（1）切向加速度
令
注意：这里v指的是速率。
所以切向加速度
（ 方向沿质点运动方向）
（2）法向加速度
令 
（7）
所以：
（8）
讨论：（1）
是由速度大小变化而产生的，若 
，则做匀速率运动。
是由速度方向变化而产生的，若 
，则做直线运动。
(2)
故 
与 
同方向。 
时， 
，说明质点速度大小增加，则运动越来越快， 与 同向； 
时， 
，说明质点运动越来越快， 与 反向。
例题一：已知质点在椭圆上匀速率运动，即对椭圆上的两点A和B，有
，判断二者加速度的大小关系。
解： ∵ ， ∴ ， 
∵ 
， ∴ 
，
∴ 
， 
注：曲率半径
和椭圆的半长轴，半短轴无关，不要混淆。
例题二：若已知质点作斜抛运动，初速度为
，与轴的夹角为
，求：质点在最高点和落地点
其运动轨迹的曲率半径。
解：如图，建立直角坐标系
质点的速度：
最高点：
落地点：
总结：（1）本节的难点是推导加速度的数学表达式，
。同时理解 、 产生的原因和根源。
（2）使用加速度公式 
灵活应用解题。
练习题1.列车在圆孤形轨道上自东转向北行驶，在我们所讨论的时间范围内，其运动学方程为s=80t-t2，(长度：米，时间：秒).t=0时，列车在图中O点．此圆孤形轨道的半径r=1500m．求列车驶过O点以后前进至1200m处的速率及加速度。
极坐标系• 速度与加速度
一、极坐标系 （plane polar coordinates）
1．极坐标系的建立：
在参考系上取点O，引有刻度的射线OX称为极轴（有方向的），建成极坐标系。
矢径：由参考点O引向质点位置A的线段长度
由r 表示矢径。 如图示：r=
幅角：质点的位置矢量与极轴所夹的角θ（也称：极角）
规定：自极轴逆时针转至位置矢量的幅角为正，反之为负。
（ r，θ）确定平面上质点的位置，称为极坐标。
质点的运 动学方程：
、 
质点的轨迹： 
2．极坐标系中矢量的正交分解
如图示：质点在A点，沿位置矢量方向称为径向
径向单位矢量：沿质点所在处位置矢量的方向。
横向单位矢量：与径向方向垂直且指向
增加的方向。 
任何矢量均可在 和 方向上作正交分解。
注意：径向和横向随地点而异。
二、径向速度与横向速度
讨论质点平面运动速度在极坐标系中的正交分解式，如图示：
（1）用微元法推导速度
设：t
t+ 
时间内，图中质点自A（
，
）经历一微小的位移 
，到达 
由速度的定义：
（1）
位移
对应于质点矢量的改变——径向位移；
位移
对应于质点相对于极点幅角的改变——横向位移。
时， 指向趋于 
方向。
， 时， 指向趋于 方向。
(2)
故:速度的径向分量： 
，速度的径横向分量 ： 
即：径向速度等于矢径对时间的变化率
横向速度等于矢径与角速度的乘积。
（2）矢量运算法推导速度
（3）
对于径向速度是矢径的变化而引起的速度的大小。
下面讨论
：
如图所示 
是单位径向方向，模的大小为1。
（ 
）
另外 的推导也可如下进行：
右端展开是: 
即：
所以: 
。
三、加速度矢量
用“矢量法”推导“加速度”
已知：
伽俐略变换——经典时空观中的参考系变换
同一运动，对于不同的参考系，描述是不同的。研究各描述之间的关系是这节的主要内容。
一、伽俐略变换
如图所示，建立直角坐标
系和 
系， 系相对于 
系作匀速直线运动。
两参考系的坐标轴互相平行，设
系以 
沿 x 方向运动。
表示 相对于 的位矢。
表示质点 p 相对于 的位矢。
表示质点 p 相对于 的位矢。 
(1)
直角坐标系中的分量形式：
(2)
若：
则：
(3)
称这种自 系到 系的时空变换关系即为伽俐略变换。其逆变换为： 
二、伽俐略变换所蕴含的时空观
1、关于同时性
设在 系中观测得二事件均于t时刻发生，两者可在同一地点或不同地点。
在 系中观测该二事件发生的时刻分别是 
和 
，由俐略变换知：
即： 
即: 系中，二事件也是同时发生的。即同时性是绝对的。
2、 关于时间间隔
设： 系中，二事件分别于t1 和t2 时刻相继发生，
系中，测得二事件发生的时刻 和 ，由俐略变换：
得： 
即：两参考系中观测到两事件的时间间隔相同。
或：在伽俐略变换下，时间间隔是绝对的。
3、关于杆的长度
在 系中放一杆与轴平行，相对于 
系静止，但相对于 系运动。用在 和 系中同一参考系校准过的尺测量杆的长度。
表示在 系中的杆长。
系中的尺子相对于 系静止，但杆相对于 系运动，尺子和杆的两端分别对齐，设坐标是 
和 
，若测量是同时的，则 
系中的杆长由伽俐略变换可知： 
即：在彼此作匀速运动的参考系中测量杆的长度，测量结果相同。
注：杆沿运动方向的长度与杆静止时相同。
即：杆的长度是绝对的！——绝对空间！
总之，在伽俐略变换下，时间测量和空间测量均与参考系的运动状态无关。时间和空间也不相互联系，这就是经典力学的时空观（有时也称作牛顿的绝对时空观）。
三、伽俐略速度变换关系
由伽俐略坐标变换关系：
(4)
即：绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和
四、加速度变换
对（4）式 
两端对时间求导数：
（5）
即：加速度对伽俐略变换保持不变。
提示：若质点运动的速度大小和光速大小可比拟时，取而代之的时空观为相对论的时空观，相应的变换即为洛仑兹变换。
练习题:河的两岸互相平行。一船由A点朝与岸垂直的方向匀速驶去，经10min到达对岸c点．若船从A点出发仍按第一次渡河速率不变但垂直地到达彼岸的B点，需要12．5min，已知BC＝120m．求： (1)河宽L;(2)第二次渡河时船的速度u ；（3)水流速度v.
总结：本章的主要内容；利用“微积分”数学方法，求解物体运动的状态和运用不同的坐标系来具体运用物理公式来解习题。
注意：速度和加速度的定义式。
本章要点: 参照系和坐标系；质点；时间和时刻位置矢量，位移、速度、加速度；运动方程，运动迭加原理，切向加速度和法向加速度。角位移、角速度、角加速度；角量与线量的关系.相对运动.
本章习题: 2.1.3, 2.2.6, 2.3.2, 2.4.1, 2.4.2, 2.4.7, 2.4.8, 2.5.1, 2.8.1, 2.8.2, 2.8.5
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