《微分方程数值解》课程教学大纲

 

 

 (Numerical Methods of Differential Equations)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

编写单位：数学与统计学院信息与计算科学系

编写时间：2023 年 7 月

 

《微分方程数值解》课程教学大纲

一、基本信息

课程名称：微分方程数值解       

英文名称：Numerical Methods of differential equations

课程类别：专业核心课程

课程性质：必修课

课程编码：0701000586

学分：3.5

总学时：56。其中，讲授48学时，上机实验8学时，实训0学时

适用专业：信息与计算科学专业

先修课程与知识储备：数学分析，高等代数，数值分析A、常微分方程，C程序设计基础。

后继课程：计算流体力学、有限元方法、矩阵计算。

二、课程简介

《微分方程数值解》课程是高等院校信息与计算科学专业的专业必修课之一，主要内容包括常微分方程初值问题的数值解法、抛物型偏微分方程的有限差分法、椭圆型偏微分方程的有限差分法和双曲型偏微分方程的有限差分法等，是集理论性与应用性为一体的专业核心课程。

通过本课程的学习，学生能够理解数值算法的数学原理，能将数值解法的一般概念、理论和方法应用于分析具体的微分方程定解问题，能构造合适的数值格式、编制有效的程序代码，并能正确地分析、表述或比较不同数值算法的优劣性，为将来从事信息与计算科学的学习和研究打下坚实的理论基础。

三、教学目标

1、课程思政教学目标：

（1）适当引入古今中外数学家的动人故事，培养学生的数学情感、激发学生的家国情怀，使学生端正学习态度、树立正确的数学审美观和价值观。

（2）带领学生体会微分方程定解问题数值求解的整个过程，引导学生利用所学知识解释有关学科现象，提高微分方程数值解法的学习兴趣，加深对数值格式的理解，懂得数值解法的重要性和其在实际问题中的应用价值。

2、课程教学总目标：通过本课程的学习，使学生能体会到数值解理论的应用价值，进一步夯实专业基础，增强理论联系实际的信心与能力，具体体现在：学生能够将有限差分法的基本理论用于常微分或偏微分方程定解问题的差分格式的构造中，能分析相应的差分格式的稳定性、收敛性、相容性，给出适当的误差估计，并能编制有效的程序代码，在计算机上实现微分方程定解问题的数值求解以及客观准确地表述数值实验结果。

3、课程目标与学生能力和素质培养的关系：课程目标与学生能力和素质培养的关系主要体现在以下几个方面：

（1）连续问题离散化能力——引导学生用科学的思维方法，将差分方法的相关理论应用于几类典型方程的离散化处理，将连续问题转化为离散问题，体会将无穷问题进行有限化归的数学思想，使学生感受到数学中化归思想的美。

（2）算法分析与设计能力——结合各类微分方程的特点，能设计各种计算方法，对计算方法的收敛条件和收敛速度等进行分析，并能具体设计易于上机实现的算法。通过学习，强化微分方程数值求解的基本原则，使学生能对数值方法中的稳定性、收敛性和误差等概念有定性和定量方面的双重理解。

（3）离散方程组的快速求解能力——分析离散方程组的特点，恰当运用合适的数学软件编制有效的程序代码并上机实现，特别是能正确使用常见的迭代法。培养学生的创造性和程序化的思维，使学生学会用数学中算法的观点思考实际问题，用程序和计算机解决数学问题。

4、毕业要求—课程目标关系（OBE结果导向）

表1  毕业要求-课程目标关系表

毕业要求

与课程关联度

课程目标

 

坚持社会主义核心价值观，具有坚定的政治立场，热爱祖国，具有遵纪守法、爱岗敬业、团结协作的品质及良好的社会公德和职业道德，具有一定的人文素养，熟悉本专业领域相关法律、法规及政策，树立科学的世界观，成为社会主义事业的建设者和可靠接班人。

 

L

1.学生将了解微分方程数值解法的任务及其应用、发展概况。

 

掌握扎实的数学知识与信息处理基础知识，具有从事科学计算与信息处理所需的数学基础、自然科学知识和专业技能，具有综合运用上述知识和技能解决复杂工程计算问题的能力；了解信息与计算科学专业发展前沿，具有一定的创新精神，数学素养，能够基于科学原理并采用科学方法对复杂科学工程计算问题进行研究。

 

H

2.学生将能分析用于求解常微分方程初值问题的一些常见的、经典的数值方法的局部截断误差和相容性；

3.学生将能分析用于求解偏微分方程初（边）值问题的一些常见的、经典的有限差分格式的局部截断误差和相容性。

 

能够设计针对复杂工程问题的数学与计算机解决方案，并在设计中体现创新意识；能够基于科学原理并采用科学方法对复杂计算领域和信息领域的工程问题进行研究。

 

H

  1. 学生将能够针对常微分方程初值问题构造单步或线性多步格式，并能分析格式的收敛性和稳定性等；

5.学生将能够针对三大类偏微分方程初（边）值问题构造有限差分法，并能分析格式的收敛性和稳定性等。

 

具备运用现代工具分析、研究复杂科学工程计算问题的方法和能力，能够应用本学科基本原理、方法对本专业领域问题进行判断、分析和研究。

 

H

6.学生将能够利用数学软件编制相应的程序代码、进行程序调试并求出相应问题的数值解。

具有自主学习和终身学习的意识，有不断学习和适应发展的能力。

L

  1. 学生能够结合各类微分方程的特点，将设计好的数值算法在计算机上通过MATLAB软件或C++编程实现，培养动手能力。

8.培养学生的创造性思维和程序化思维，使学生学会用数学中算法的观点思考实际问题，用程序和计算机解决数学问题。

注：表中“H（高）、M（中）、L（弱）”表示课程与各项毕业要求的关联度。

 

四、课程内容及学时分配

本课程内容、建议学时以及知识单元与课程目标支撑关系如表2所示。

表2  课程内容及学时分配

知识单元

知识点

讲授学时

实验学时

上机学时

课程目标

序号

描述

序号

描述

第一章

常微分方程初值问题数值解法

1.1-1.2

常微分方程数值解法简介、欧拉法的构造及收敛性和稳定性

2

 

 

1,2

1.3

梯形法收敛性、隐式格式的迭代计算

2

 

 

2,4

1.4

龙格库塔法

2

 

 

4,6

1.5

线性多步法

2

 

 

4,6

 

 

1.6

误差的事后估计法

2

 

 

2

1.7

常微分方程组的数值方法

2

 

 

2,4,6

 

上机课： 常微分方程初值问题的数值求解

 

 

2

6,7,8

第二章

抛物型方程的差分方法

2.1

偏微分方程数值解法简介、差分格式建立的基础

4

 

 

1,3

 

 

2.2

抛物型方程显式差分格式

2

 

 

3,5

 

 

2.3

抛物型方程隐式差分格式

2

 

 

3,5

 

 

2.5

差分格式稳定性和收敛性

4

 

 

3,5

 

 

 

上机课： 抛物型方程初值问题的差分方法求解

 

 

2

6,7,8

第三章

椭圆型方程的差分方法

3.1

椭圆型方程差分方法简介、Laplace方程Dirichlet边值问题

2

 

 

1,3

 

 

3.2

Neumann边值问题的差分模拟

2

 

 

3,5

 

 

3.3-3.4

混合边值条件、非矩形区域

2

 

 

3,5

 

 

3.5

极坐标形式的差分格式

2

 

 

 

3,5

 

 

 

3.6

Poisson方程五点差分逼近的收敛速度分析

2

 

 

3,5

 

 

 

上机课： 椭圆型方程的差分方法求解

 

 

2

6,7,8

第四章

双曲型方程的差分方法

4.1

一阶拟线性双曲型方程的特征线法

2

 

 

1,3

 

 

4.2

一阶拟线性双曲型方程组的特征线法

4

 

 

3,5

 

 

4.3

一阶双曲型方程的差分格式

2

 

 

 

3,5

 

 

 

4.4

一阶双曲型方程组的差分格式

2

 

 

3,5

 

 

4.5

二阶线性双曲型方程的差分方法

2

 

 

3,5

 

 

 

上机课：双曲型方程的差分方法求解

 

 

2

6,7,8

 

 

 

总复习

2

 

 

 

1-8

 

 

五、教学方法及要求

1、教学方法及要求：本课程理论与实践并重，课堂讲授和上机实践相结合（配有8学时上机实践）, 采用多媒体教学，课堂讲授结合讨论、案例教学和研究性教学。注重培养学生的自学能力、动手能力与解决实际问题的综合应用能力。本课程的教学，需要课程教师了解课程发展历程，从事与微分方程数值解法相关的科学研究，了解学科的前沿动态。并且需要课程教师掌握现代教育技术的应用，如熟悉一些常用的信息化手段，用多媒体辅助教学，提高教学效果。

2、课程思政教学方法及要求：突出思政引领，将“思政之盐融入教育之汤”。坚持显性教育与隐性教育相统一，充分发掘微分方程数值解法课程及教学方式中蕴含的思政元素，适时将思政元素有机融入课程教学；也可以通过构造思政教学案例等形式，实现知识传授与价值引领相统一，落实立德树人的根本任务。

六、重点与难点

重点：常微分方程初值问题的数值解法、偏微分方程的有限差分法以及算法的matlab编程实现。

难点：常微分方程初值问题线性多步方法，Runge-Kutta法，偏微分方程差分格式的建立、稳定性和收敛性的分析以及算法的matlab编程实现。

七、学习要求

    本课程注重方法的实施和基本的理论分析，要求学生掌握算法的基本思想和核心步骤，特别是重点算法的程序实现。课前要求学生预习相关理论知识；课中要求学生认真听讲，并积极参与讨论；课后要求学生多练多想，善于归纳总结，将所学知识系统化，以上课课件为指导辅以相关参考资料巩固学习，并运用所学知识解决一些实际的小课题。学生按约2:1的比例配置课堂时间和课外学时。

八、考核内容及考核方式

1、考核内容及评价依据

本课程考核内容、建议评价依据以及与课程目标对应关系如表3所示。

表3 课程目标-考核方式关系表

课程目标

考核内容

评价依据

1-8

考查内容：学习是否认真、学习态度是否端正、是否具备基本的动手能力，是否能利用所学知识解决和分析实际问题，是否具备一定的学术潜力

出勤及作业完成情况、实验报告完成的质量、查阅相关学术文献并撰写综述报告的情况、依托本课程学习获得的学术成果、发表的作品、社会实习实践情况。

1-8

考试内容：对微分方程数值解法的基本概念、基本理论和基本方法的了解和掌握

期末考试的卷面成绩

 

2、成绩评定

（1）成绩评定标准：

(a)知识考核：占总成绩的80%，主要采用期末书面考试的方式评定。期末考试可采用闭卷考试。

(b)能力考核：占总成绩的20%，根据作业、上机情况、质疑、课堂讨论等能力、素质评定。

（2）课程目标与评分标准之间的对应关系

         

表4 课程目标-成绩评定标准关系表

课程目标

成绩评定标准

1-8

出勤率、课后作业及实验报告

占总成绩的20%

1-8

期末闭卷考试

占总成绩的80%

 

九、课程资源平台

网络教学平台： http://pt.csust.edu.cn/meol/main.jsp

十、教材、主要参考书

推荐教材：

[1]《微分方程数值解法》，戴嘉尊、邱建贤，东南大学出版社，2012年版.

主要参考书：

[1]《微分方程数值解法》，李荣华、冯果忱，高等教育出版社，1996年版.

[2]《微分方程数值解法》，胡健伟、汤怀民，北京科学出版社，1999年版.

[3]《微分方程数值解法》，余德浩、汤华中，北京科学出版社，2003年版.

[4]《微分方程数值解》，曾金平、杨余飞、关力，科学出版社，2011年版.

大纲执笔人：唐文生    课程负责人： 唐文生   大纲审核人：仝青山