《高等数学B（一）》教学大纲
(Advanced Mathematics B(I))
编写单位：数学与统计学院公共数学系
编写时间：2021 年 6 月
《高等数学B（一）》课程教学大纲
一、基本信息
课程名称：高等数学B（一） 英文名称：Advanced Mathematics B(I)
课程类别：学科基础教育课程
课程性质：必修课
课程编码：0701000245
学分：5
总学时：80。其中，讲授80学时，实验0学时，上机0学时，实训0学时。
适用专业：土木工程、化工与制药、财务管理、新能源材料与器件等专业。
先修课程与知识储备： 初等数学
后继课程：高等数学B（二）、线性代数、概率论与数理统计。
二、课程简介
随着科学技术的迅猛发展，数学正日益成为各学科进行科学研究的重要手段和工具。高等数学是近代数学的基础，是理工科各专业和经济管理类专业的学生的必修课,也是在现代科学技术、经济管理、人文科学中应用最广泛的一门课程，因此学好这门课程对学生今后的发展至关重要。本课程以一元函数微积分学为核心内容，首先介绍了微积分主要研究的对象——函数及微积分研究的重要理论基础——极限论，然后在此基础上建立了一元函数的连续、导数、微分、积分的概念、理论和应用，以及常微分方程等理论。通过本课程的教学，使学生掌握利用一元函数微积分思想处理相关问题的思想和方法，培养学生科学思维能力，同时为后续课程的学习奠定良好的数学基础。
三、教学目标
1、课程思政教学目标：
坚持以人为本，立德树人，做到“眼里有学生、心中想学生、行动关心学生、教学引导学生”。在传授高等数学课程知识的基础上，通过根植渗透融入数学文化和德育教育等思政元素，对学生进行爱国主义与国家意识、辩证唯物主义与政治认同、科学精神与文化自信、美学与公民人格等方面的教育；将知识传授与价值引领相结合，弘扬劳模精神和工匠精神，营造劳动光荣的社会风尚和精益求精的敬业风气，激发学生坚定四个自信和增强民族自豪感，树立时代使命感和责任感；引导学生树立正确的世界观、人生观和价值观，引导学生将所学到的知识转化为内在德性和素养，将个人发展与社会发展、国家发展结合起来；帮助学生解答思想困惑、价值困惑、情感困惑，激发其为国家学习、为民族学习的热情和动力，帮助其在创造社会价值过程中明确自身价值和社会定位。
2、课程教学总目标：
通过高等数学课程的学习,使学生系统地掌握一元函数微积分的基本理论与基本方法，为学生学习后续课程打下必要的数学知识基础；培养学生的逻辑推理能力，空间想象能力，数值计算与符号运算能力，抽象概括能力，运用数学知识解决实际问题的能力；培养学生养成科学地分析问题和解决问题的思维方式，增强学生的辩证思维、美学意识和创新意识，提高学生的创造力；培养学生爱国主义情怀和时代责任感，提高学生勇于进取和自强不息的探索精神。
3、课程目标与学生能力和素质培养的关系：
通过高等数学课程的学习，使学生系统掌握微积分的基本概念、理论和方法，提高学生运用数学知识分析和解决问题的能力，具备初步数学建模能力；使学生具有一定的空间想象能力，逻辑推理能力，抽象概括能力，数值计算与符号运算能力，让学生明白学习是一个逐渐积累的过程，要不断学习，终身学习，要发扬劳模精神与工匠精神，才能实现人生自我价值；使学生了解微积分相关知识所蕴涵的辩证思维、数学美学、传统文化等内容，让学生陶冶情操，树立正确的人生观、世界观和价值观，培养学生不畏艰难、踏实勤奋、诚信正直的精神品质；使学生了解中国数学故事，中国数学名人，中国科技强国梦，激发学生坚定四个自信，增强民族自豪感，树立时代使命感与责任感。
4、毕业要求—课程目标关系（OBE结果导向）
毕业要求—课程目标关系如表格1所示：
表1 毕业要求-课程目标关系表
毕业要求 | 与课程关联度 | 课程目标 |
运用数学知识分析与解决问题能力：大纲适用专业学生具有所需的高等数学知识，能够应用数学的基本原理，识别、表达相关数学问题，并获得有效结论。 | 高 | 通过本课程的学习，使学生掌握以下内容： 1. 理解函数的概念，了解函数的四种特性；理解复合函数和反函数的概念，熟练掌握五类基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数. 会建立简单实际问题中的函数关系式，初步具备数学建模能力。 2. 理解极限的概念，了解极限的 3. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，会判别间断点的类型. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质。 4. 理解导数的概念和几何意义及函数可导性与连续性之间的关系，了解高阶导数概念. 会求分段函数在分段点的导数，会用导数描述一些物理量；熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握初等函数的一阶、二阶导数求法；掌握隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数；会求反函数的导数。 5. 理解微分的概念，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性，掌握微分的计算。 6. 理解罗尔定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理，掌握泰勒中值定理及应用. 熟练掌握用洛必达法则求不定式的极限。 7. 掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法. 掌握用导数判断函数图形的凹凸性的方法，会求拐点；会描绘简单函数的图形。 8. 会求简单的最值应用问题。 9. 理解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质。 10. 熟悉不定积分的基本公式，熟练掌握不定积分的换元积分法与分部积分法。 11. 会求简单的有理函数的积分。 12. 理解定积分的概念及其性质，熟悉积分上限函数及其求导定理。 13. 掌握牛顿-莱布尼茨公式，熟练掌握定积分的换元法与分部积分法。 14. 了解反常积分的概念，熟悉反常积分的计算方法. 了解伽马函数及性质，熟悉用伽马函数计算概率积分的方法。 15. 理解定积分的元素法；掌握定积分在几何上的应用，了解定积分在物理上的应用。 16. 了解微分方程的基本概念；掌握可分离变量的微分方程的解法。会求解齐次方程；掌握一阶线性微分方程的解法，熟悉常数变易法。 17. 会求解几种可降阶的高阶微分方程。 18. 理解二阶线性微分方程的解的结构；熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 19. 会用微分方程解一些简单的问题。 |
终身学习能力：具有主动学习和终身学习的能力；具有不断追求创新、追求卓越的意识和态度；具有独立思考和创新思维的能力。 | 中 | 20. 通过本课程的学习，逐步培养学生以下能力：(1) 基本计算能力和抽象符号运算能力；(2) 综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力；(3) 抽象概括问题的能力；(4) 逻辑推理能力；(5) 自主学习的能力。 |
团队合作能力：具有独立工作和团队合作的能力；具有在多学科项目中与他人合作的能力。 | 中 | 21. 在本课程的学习中，通过独立查阅资料和复习完成书面作业或与同学一起讨论完成小组作业，可以提高学生与他人合作的能力。 |
有效表达与交流能力：具有活跃的思维能力，准确而流畅的书面表达能力，清晰而有说服力的口头表达能力。 | 中 | 22. 在本课程的学习中，可以使学生的思维更加活跃，通过回答数学问题和完成作业，可以使提高学生的书面表达能力，使学生的表达更有逻辑性与条理性。 |
四、课程内容及学时分配
本课程内容、建议学时以及知识单元与课程目标支撑关系如表2所示。
表2 课程内容及学时分配
知识单元 | 知识点 | 讲授学时 | 实验学时 | 上机学时 | 课程 目标 | |||
序号 | 描述 | 序号 | 描述 |
|
|
|
| |
1 | 函数与极限 | 1 | 课程内容、任务和学习方法 | 1 | 0 | 0 | 1-3、20-22 | |
2 | 映射与函数 | 1 | 0 | 0 | ||||
3 | 数列的极限 | 2 | 0 | 0 | ||||
4 | 函数的极限 | 2 | 0 | 0 | ||||
5 | 无穷小与无穷大 | 1 | 0 | 0 | ||||
6 | 极限运算法则 | 1 | 0 | 0 | ||||
7 | 极限存在准则两个重要极限 | 2 | 0 | 0 | ||||
8 | 无穷小的比较 | 2 | 0 | 0 | ||||
9 | 函数的连续性与间断点 | 2 | 0 | 0 | ||||
10 | 连续函数的运算与初等函数的连续性 | 1 | 0 | 0 | ||||
11 | 闭区间上连续函数的性质 | 1 | 0 | 0 | ||||
12 | 小结课 | 2 | 0 | 0 | ||||
2 | 导数与微分 | 1 | 导数的概念 | 1 | 0 | 0 | 4-5、20-22 | |
2 | 函数的求导法则 | 1 | 0 | 0 | ||||
3 | 高阶导数 | 2 | 0 | 0 | ||||
4 | 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 | 2 | 0 | 0 | ||||
5 | 函数的微分 | 2 | 0 | 0 | ||||
3 | 微分中值定理与导数的应用 | 1 | 微分中值定理 | 2 | 0 | 0 | 6-8、20-22 | |
2 | 洛必达法则 | 2 | 0 | 0 | ||||
3 | 泰勒公式 | 2 | 0 | 0 | ||||
4 | 函数的单调性与曲线的凹凸性 | 2 | 0 | 0 | ||||
5 | 函数的极值与最值 | 2 | 0 | 0 | ||||
6 | 函数图形的描绘 | 1 | 0 | 0 | ||||
7 | 曲率 | 1 | 0 | 0 | ||||
8 | 小结课 | 2 | 0 | 0 | ||||
4 | 不定积分 | 1 | 不定积分的概念与性质 | 1 | 0 | 0 | 9-11、20-22 | |
2 | 换元积分法 | 3 | 0 | 0 | ||||
3 | 分部积分法 | 2 | 0 | 0 | ||||
4 | 有理函数的积分 | 2 | 0 | 0 | ||||
5 | 小结课 | 2 | 0 | 0 | ||||
5 | 定积分 | 1 | 定积分的概念与性质 | 2 | 0 | 0 | 12-14、20-22 | |
2 | 微积分基本公式 | 2 | 0 | 0 | ||||
3 | 定积分的换元法与分部积分法 | 4 | 0 | 0 | ||||
4 | 反常积分 | 2 | 0 | 0 | ||||
5 | 伽马函数 | 2 | 0 | 0 | ||||
6 | 定积分的应用 | 1 | 定积分的元素法 | 1 | 0 | 0 | 15、20-22 | |
2 | 定积分在几何学上的应用 | 2 | 0 | 0 | ||||
3 | 定积分在物理学上的应用 | 1 | 0 | 0 | ||||
4 | 小结课 | 2 | 0 | 0 | ||||
7 | 微分方程 | 1 | 微分方程的基本概念 | 1 | 0 | 0 | 16-19、20-22 | |
2 | 可分离变量的微分方程 | 1 | 0 | 0 | ||||
3 | 齐次方程 | 1 | 0 | 0 | ||||
4 | 一阶线性微分方程 | 1 | 0 | 0 | ||||
5 | 可降阶的高阶微分方程 | 2 | 0 | 0 | ||||
6 | 高阶线性微分方程 | 1 | 0 | 0 | ||||
7 | 常系数齐次线性微分方程 | 1 | 0 | 0 | ||||
8 | 常系数非齐次线性微分方程 | 2 | 0 | 0 | ||||
9 | 小结课 | 2 | 0 | 0 | ||||
五、教学方法及要求
1．教学方法及要求
以教师讲授为主，采取学生自学与教师讲授相结合的方法，讲解时尽量做到直观易懂与严紧性相结合。概念的引入和例题的选择尽可能联系实际应用，使学生充分了解学习高等数学课程的重要性，激发学生学习高等数学课程的兴趣，从而充分发挥学生学习的主动性。在课堂讲授的同时，适当结合小组讨论法进行教学。另外，可以与MOOC、微课有机结合，让学生在课前能很好的预习，课后对还没掌握的概念与定理的证明等能自主进行网上学习。
2. 课程思政方法教学及要求
突出思政引领，将“思政之盐融入教育之汤”。坚持显性教育与隐性教育相统一，充分发掘高等数学课程及教学方式中蕴含的思政元素，适时将思政元素有机融入课程教学；也可以通过构造思政教学案例等形式，实现知识传授与价值引领相统一，落实立德树人的根本任务。
六、重点与难点
1. 函数与极限
重点：函数极限的概念，求极限的方法，无穷小的概念及其四则运算中的性质，函数的连续性。
难点：复合函数的极限，连续性，函数连续的性质。
2. 导数与微分
重点：导数的概念与几何意义，初等函数导数的求法，微分的概念。
难点：复合函数，隐函数求导法则。
3. 中值定理和导数的应用
重点：拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数单调性的判定法，函数的极值及其求法，最大值和最小值的求法。
难点：未定式的极限。
4. 不定积分
重点：原函数与不定积分的概念，基本积分公式，换元积分法，分部积分法。难点：换元法、有理函数的积分。
5. 定积分及其应用
重点：定积分的概念，积分中值定理，变上限积分函数的导数，牛顿-莱布尼兹公式，定积分问题中的微元法，平面图形的面积，旋转体的体积。
难点：变上限积分函数的求导，定积分的物理应用。
6. 微分方程
重点：微分方程及通解的概念，可分离变量方程，一阶线性微分方程与常数变异法，二阶常系数线性微分方程的通解。
难点：二阶常系数非齐次线性微分方程第Ⅱ型特解的求法。
七、学习要求
教师每次新课前，要求学生预习，在讲课时通过对概念、公式的推导等随机提问检查学生的预习情况；课堂上可以让学生上台讲类似的例题，了解学生对知识点的掌握情况；给学生留课后思考题或书面作业，要求学生课余分组讨论或认真复习独立完成，并及时检查学生的完成情况，以便快速查漏补缺。
八、考核内容及考核方式
1.考核内容及评价依据
本课程考核内容、建议评价依据以及与课程目标对应关系如表3所示。
表3 课程目标-考核方式关系表
课程目标 | 考核内容 | 评价依据 |
1,2, 3 | 一元函数的概念，一元函数的极限，一元函数的连续与间断，闭区间上连续函数的性质 | 课堂讨论、课堂提问、作业情况、随堂测试、期中考试、期末考试 |
4,5 | 一元函数导数的概念、计算，一元函数微分的概念、计算 | 课堂讨论、课堂提问、作业情况、随堂测试、期中考试、期末考试 |
6,7, 8 | 微分中值定理，洛必达法则，泰勒公式，一元函数的单调性与极值，一元函数的凹凸性与拐点，函数图形的描绘，曲率 | 课堂讨论、课堂提问、作业情况、随堂测试、期中考试、期末考试 |
9,10,11 | 不定积分的概念与计算 | 课堂讨论、课堂提问、作业情况、随堂测试、期末考试 |
12,13,14 | 定积分的概念、性质、计算 | 课堂讨论、课堂提问、作业情况、随堂测试、期末考试 |
15 | 定积分在几何和物理中的应用 | 课堂讨论、课堂提问、作业情况、随堂测试、期末考试 |
16,17,18,19 | 常微分方程的求解 | 课堂讨论、课堂提问、作业情况、随堂测试、期末考试 |
20,21,22 | 课堂表现 | 课后阅读、课后讨论、参加数学学科竞赛情况等 |
2、成绩评定
（1）成绩评定标准：总成绩
期中考试成绩
期末考试成绩
学习能力成绩
（2）课程目标与评分标准之间的对应关系
表4 课程目标-成绩评定标准关系表
课程目标 | 成绩评定标准 |
1, 2, 3, 4, 5, 6 | 期中书面闭卷考试评定（30%） |
1-19 | 期末书面闭卷考试评定（50%） |
20-22 | 书面作业、讨论作业与课堂表现情况评定（20%） |
九、课程资源平台
1、国防科技大学 《高等数学（一、二）》中国大学MOOC：
https:/www.icourse163.org/course/0701NUDT001A-9004
2、长沙理工大学《高等数学（上）》学银在线：
http://www.xueyinonline.com/detail/217574923
十、教材、主要参考书
1、选用教材：
《高等数学（第七版 上册）》,同济大学数学系,高等教育出版社,2014.
2、主要参考书：
[1]《托马斯微积分（第11版 上册）》,FINNEY WEIR GIORDANO,高等教育出版社,2016.
[2]《高等数学应用案例集》,陈聆,电子科技大学出版社,2016.
[3]《古今数学思想》,Morris Klein著,张理京译,上海科学技术出版社,2013.
大纲执笔人：刘演军 课程负责人：刘演军 大纲审核人：仝青山